$f$ é contínuo se $G(f)$ é um conjunto fechado em espaços métricos [duplicado]

Question

O gráfico de $f$ é $G(f) = \{(x,f(x)) : x\in X\} \subseteq X\times Y$

$X$ e $Y$ são espaços métricos. $Y$ é compacto.

$f$ é contínuo se $G(f)$ é um conjunto fechado.

Eu obtive a resposta mais próxima aqui, mas eu tentei sozinho primeiro e fiquei travado em um ponto e preciso de ajuda nessa situação específica que não consegui em nenhum outro lugar /

$\Rightarrow$ parte: vamos $(z_n)=(x_n,f(x_n))\in G_f$ ser uma sequência convergente de $G(f)$. E se$(x,y)$é o seu limite. Temos que mostrar isso$y=f(x)$ Em outras palavras $(x,y)\in G_f$.

$x_n \to x$ $\Rightarrow$ $f(x_n)\to f(x)$[Por continuidade de $f$.] $\Rightarrow f(x)=y$pela exclusividade do limite. Conseqüentemente$G_f$ está fechado.

$\Leftarrow$ parte: vamos $x\in X$ e $(x_n)$ uma sequência convergente com limite $x$. Você tem que provar isso$(f(x_n))$ é convergente em $Y$ com limite $f(x)$. Eu usei a sequência$z_n=(x_n,f(x_n))$ e $G_f$ está fechado no espaço compacto $Y$ e, portanto $G_f$é compacto. Então, há subsequência$(x_{n_k},f(x_{n_k})) \to (x,y)\in G_f$. Então teremos$y=f(x)$ mas como posso provar isso $f(x_n) \to f(x)$? É verdade que cada subsequência de$f(x_n)$ tem uma subsequência convergindo para $f(x)$.

Answer 1

Do comentário, obtive minha resposta que vem deste lema:

Lemma Let$Y$ ser um espaço métrico compacto e $(y_n)$ uma sequência cujos termos pertencem a $Y$. Se cada subseqüência convergente de$(y_n)$converge para o mesmo limite$\ell\in Y$, então $(y_n)$ converge para $\ell$.

Prova Suponha o contrário. Então, existe$\epsilon>0$, de tal modo que :

$$\forall N\in\mathbb{N},\,\exists n\ge N;\,d(y_n,\ell)>\epsilon$$

Isso nos permite construir uma subsequência $(y_{n_k})$ de tal modo que :

$$\forall k\in\mathbb{N},d(y_{n_k},\ell)>\epsilon$$

Agora extraia de $(y_{n_k})$ uma subsequência convergente: seu limite $\ell$ da hipótese e, portanto, obtemos $0=d(\ell,\ell)\ge\epsilon$ ...

Uma contradição!

Agora alguém pode fechar esta resposta, mas posso mantê-la em meu registro e se alguém proceder desta forma. Eles obterão ajuda com isso. Fiz a pergunta porque estava verificando uma das maneiras óbvias que podem vir à nossa mente. Muito obrigado!