Fechando uma curva irracional
Para qualquer número racional q, um número finito de arcos circulares congruentes, cada um medindo 2πq radianos, pode ser montado em uma curva fechada contínua (possivelmente com interseção automática). Existem muitas outras possibilidades, mas para frações da forma 1 / n, pode-se simplesmente usar n cópias para reconstituir um círculo. E, de maneira mais geral, para a / b, as cópias b podem fechar uma curva que cobre um círculo a vezes.
Existe algum número irracional p tal que arcos congruentes finitos 2πp-radianos podem ser montados em uma curva fechada contínua sem cantos?
Respostas
Você pode.
Você pode fazer direita-direita-esquerda-direita-esquerda, esquerda-esquerda-direita-esquerda-direita. Por simetria, você é obrigado a voltar a um ponto no mesmo eixo de onde começou.
Ao ajustar o ângulo, você pode mover o ponto final para frente ou para trás e fazê-lo coincidir com a posição inicial. O caminho é irregular o suficiente para provavelmente terminar em um irracional.
Um ângulo que funciona é$1.823476582$ radianos, ou $0.290215312 \times2\pi$.
Não tenho provas de que seja realmente irracional, mas parece.