Fórmula proposicional e tradução

Question

Com base na seguinte abreviatura: $A$ - Sanders é o líder; $B$ - a Flórida fica no sul; $C$ - Joe é irmão de Sanders; $D$ - Sanders é da Flórida, traduza a seguinte fórmula simbólica para o inglês natural.

$A \Rightarrow (B \Rightarrow (C \Rightarrow D))$

Tenho muito pouca experiência para o uso alternativo de "se-então" e, portanto, seria muito bem-vindo se alguém pudesse sugerir idéias sobre como traduzi-lo em uma frase normal?

Answer 1

A primeira coisa que eu faria é eliminar algumas das implicações usando o fato de que para quaisquer termos proposicionais $p$ e $q$, a implicação $p \to q$ é logicamente equivalente a $\neg p \vee q$, Onde $\neg$ lê como "não" um $\vee$como "ou" em inglês natural; para alguma explicação sobre este fato, você pode consultar esta postagem do MSE . Se eu deixar$\equiv$ ser o símbolo que denota a relação "é logicamente equivalente a", temos as seguintes equivalências:

$$\begin{align} A \to (B \to (C \to D)) &\equiv A \to( B \to (\neg C \vee D))\\ &\equiv A \to (\neg B \vee (\neg C \vee D)) \\ &\equiv A \to (\neg B \vee \neg C \vee D )\end{align} $$

Portanto, pode-se traduzir sua fórmula lógica dada em inglês natural como:

Se Sanders for o líder, então ou a Flórida não está no sul, ou Joe não é irmão de Sanders ou Sanders é da Flórida.

Answer 2

$$\begin{align} A \to (B\to (C \to D)) &\equiv A \to ((B \land C) \to D)\\ \\ &\equiv (A\land B \land C) \to D\tag 1\\ \\ &\equiv \lnot (A \land B \land C) \lor D\\ \\ &\equiv (\lnot A \lor \lnot B \lor \lnot C) \lor D\tag 2\\ \\ &\equiv \lnot A \lor \lnot B \lor \lnot C \lor D\end{align}$$

$(1)$ Isso é baseado na equivalência de $$p \to (q \to r) \equiv (p\land q) \to r$$

$(2)$ isso é baseado em $(1)$ e o fato de que $\lnot p \to q \equiv p \lor q$. (Observe que isso é porque$p \to q \equiv \lnot p \lor q$.)

Answer 3

Para expandir a resposta de Ricks, $A\rightarrow(B\rightarrow(C\rightarrow D))$, que é equivalente a $\lnot A\lor\lnot B\lor\lnot C\lor D$, é por sua vez o mesmo que $\lnot (A\land B\land C)\lor D$( usando a lei de Morgans ). Isso pode ser reduzido para$(A\land B\land C)\rightarrow D$usando a definição de implicação mencionada por Rick.

$(A\land B\land C)\rightarrow D$ traduz muito mais naturalmente para o inglês:

Se Sanders é o líder, a Flórida fica no sul e Joe é o irmão de Sanders, então Sanders é da Flórida.