Fraca compactação sequencial no espaço de operadores compactos

Question

Deixei $E,F$ ser espaços de Banach e deixar $A\subset K(E,F)$ ser um subconjunto do espaço de operadores compactos de $E$ para $F$. Um resultado de Kalton afirma que$A$ é fracamente compacto se e somente se $A$ é WOT * compacto (aqui WOT * denota a topologia dupla do operador fraco, ou seja, a topologia definida pelos funcionais $K(E,F)\ni T\mapsto e''(T^*f')$, para $e''\in E^{**}$, $f'\in F^*$):

N. Kalton, "Spaces of compact operator", Math. Ann. 208, 267--278 (1974).

Por outro lado, o teorema de Eberlein-Smulian nos diz que compactação fraca é equivalente a compactação sequencial fraca.

Pergunta: É WOT * compactação em $K(E,F)$equivalente a compactação sequencial WOT *? (talvez sob algumas suposições extras)

Answer 1

A chave aqui é a incorporação isométrica de $K(E,F)$ no espaço de funções contínuas no espaço compacto $M=B_{E^{**}}\times B_{F^*}$.

Suponha que $A$ é WOT$^*$ sequencialmente compacto; $A$é limitada pelo princípio de limitação uniforme. Então cada sequência$(T_n)$ dentro $A$ tem um WOT$^*$subsequência convergente. Assim, a sequência de imagens em$C(M)$tem uma subseqüência convergente pontual. Por convergência dominada, é fracamente convergente em$C(M)$, então $(T_n)$tem uma subseqüência fracamente convergente. Portanto$A$ é fracamente compacto e, portanto, WOT$^*$ compactar.

O inverso segue dos teoremas declarados de Kalton e Eberlein-Shmulyan.