Função (ões) característica contínua (s) em $\mathbb{R}$.

Question

Já faz algum tempo que estou trabalhando no exemplo a seguir e gostaria de ter certeza de que meu raciocínio está correto. Este exemplo é de um capítulo de meu livro sobre a continuidade dos mapas entre espaços métricos .

Existe uma função característica contínua, $X_{A}$, em $\mathbb{R}$? Também se$A \subset \mathbb{R}$ mostre isso $X_A$ é contínuo em cada ponto do interior de $A^{o}$ (o interior ou $A$)

Observe que a função característica $X_A$Estou me referindo (geralmente denotado com chi , mas MathJax não aceita bem os subscritos desta letra grega) entre dois espaços métricos$(M,d_{1})$ e $(N,d_{2})$ é definido em um subconjunto $A \subset M$ de tal modo que $X_{A}(x) := 1$ E se $x \in A$ e $X_{A}(x) := 0$ E se $x \notin A$.

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$\bullet$ Para: existe uma função característica contínua, $X_{A}$, em $\mathbb{R}$?

Sim pega $\mathbb{R}$como um subconjunto de si mesmo. então$X_{\mathbb{R}}(x) = 1$ $\forall x \in \mathbb{R}$. Portanto, a pré-imagem,$X_{\mathbb{R}}^{-1}(\{1\}) = \mathbb{R}$ é fechado e como a pré-imagem de um conjunto fechado é fechada, $X_{\mathbb{R}}$é contínuo. Bem, se tomarmos$\emptyset \subset \mathbb{R}$: $X_{\emptyset}(x) = 0$. então$X_{\emptyset}^{-1}(\{0\}) = \emptyset$está fechado. Por raciocínio semelhante, a pré-imagem de um conjunto fechado é fechada para que possamos concluir$X_{\emptyset}$ é contínuo.

$\bullet$ Para: Além disso, se $A \subset \mathbb{R}$ mostre isso $X_A$ é contínuo em cada ponto do interior de $A^{o}$ (o interior ou $A$)

Nós sabemos isso $A^{o} \subset A$, então deixe $x \in A^{o}$. Então nós sabemos$X_A(\{x\}) =\{1\}$ Desde a $x$ também está em $A$. Portanto,$X_A^{-1}(\{1\}) = \{x\}$ Onde $x$ é qualquer elemento em $A$, e desde $A^{o} \subset A$, pode ser qualquer elemento do interior. Então, uma vez que a pré-imagem de um conjunto fechado é fechada,$X_A$ é contínuo em cada ponto do interior de $A$, e também contínuo em todos os $A$.

Sinto que esse raciocínio está correto, mas tenho minhas dúvidas. Além disso, existem outros pontos de continuidade, como em$A^c$? Qualquer crítica é bem vinda.

Answer 1

Não é verdade que $\chi_A^{-1}\big(\{1\}\big)=\{x\}$ para $x\in\operatorname{int}A$: $\chi_A^{-1}\big(\{1\}\big)=\{x\}$ sse $A=\{x\}$, nesse caso $x\notin\operatorname{int}A$. Lembre-se, por definição$$\chi_A^{-1}\big(\{1\}\big)=\{y\in\Bbb R:\chi_A(y)=1\}=A\,.$$

Para mostrar isso $\chi_A$ é contínuo em $x$, deixei $\epsilon>0$. Desde a$x\in\operatorname{int}A$, existe um $\delta>0$ de tal modo que $(x-\delta,x+\delta)\subseteq A$. Portanto, se$|y-x|<\delta$, então $\chi_A(y)=1$, então $|\chi_A(y)-\chi_A(x)|=0<\epsilon$, e $\chi_A$ é, portanto, contínuo em $x$.