Funções harmônicas em complementos de nó

Question

Na Teoria da Função Harmônica de Axler, ele e seus co-autores desenvolvem a teoria das funções harmônicas em esferas e discos considerando as restrições de polinômios arbitrários na esfera $S^{n-1} = \{x \in \mathbb{R}^n : ||x||^2 = 1 \}$e tomar a integral de Poisson para obter um polinômio harmônico na bola interna. Pode-se então obter a transformada Kelvin para obter uma função harmônica no exterior da esfera. Este processo produz uma projeção canônica$\mathscr{P}(\mathbb{R}^n) \to \mathscr{H}(\mathbb{R}^n)$, do espaço dos polinômios para o espaço das funções harmônicas, fatorando através do mapa de restrição para $L^2(S^{n-1})$.

Esta teoria generaliza para complementos de nó? Digamos que temos um nó$K \subseteq \mathbb{R}^3$, e pegamos uma pequena vizinhança tubular $V$ por aí $K$, cujo limite é topologicamente um toro $T$. Dada uma função no complemento do nó, pode-se restringir a$T$e então resolva o problema de Dirichlet no complemento do nó para obter uma projeção como a acima. No entanto, no caso da esfera, existem muitas propriedades interessantes da teoria da função harmônica; ou seja, ele vem com um algoritmo eficiente para o cálculo de uma base polinomial harmônica de$L^2(S^{n-1})$ que envolve diferenciar repetidamente a função $f(x) = |x|^{2-n}$.

Alguém conhece alguma teoria nessa linha? Existem obstáculos para generalizar o que acontece no caso da esfera?

Answer 1

Este é mais um comentário, mas muito longo. Primeiro, duas observações sobre a parte inicial da pergunta:

1. O Kelvin transformar de um polinômio harmônica é, naturalmente, harmônica, mas é não um polinômio. Por exemplo, a constante$1$ é transformado em $|x|^{2-n}$.

2. A extensão da projeção $\pi : \mathscr P(\mathbb R^n) \mapsto \mathscr H(\mathbb R^n)$não está claro para mim. Deixei$\pi = \pi_2 \circ \pi_1$ ser a fatoração mencionada na pergunta: $\pi_1$ mapeia polinômios para suas restrições à esfera unitária $\mathbb S^{n-1}$, e $\pi_2$ estende isso harmonicamente para a esfera unitária $\mathbb B^n$. Então$\pi_2$ claramente se estende à extensão usual de $L^2(\mathbb S^{n-1})$ para o espaço harmônico de Hardy $\mathscr H^2(\mathbb B^n)$na bola unitária, dada pela integral de Poisson. E para$\pi_1$ tudo o que precisamos é ser capaz de restringir nossa função à esfera unitária e obter algo integrável ao quadrado (por exemplo, o espaço de Sobolev $H^{1/2}(\mathbb B^n)$vai fazer). No entanto, se exigirmos que nossas projeções estejam em$\mathscr H(\mathbb R^n)$, a classe de funções harmônicas inteiras , então suas séries de potências convergem em todos os lugares, o que é uma restrição severa. Não tenho conhecimento de qualquer caracterização intrínseca da imagem inversa de$\mathscr H(\mathbb R^n)$ através (a extensão de) $\pi_1$, muito menos $\pi = \pi_2 \circ \pi_1$.

Quando se trata da questão principal, tenho dificuldade em entender a construção proposta. É claro que quaisquer valores de limite (razoáveis ​​- digamos, integráveis ​​em relação à medida de superfície) em$T$ correspondem a uma função harmônica $h$ no complemento de $V$, novamente dado por uma integral de Poisson (com kernel que não é mais conhecido explicitamente). este$h$ é dado exclusivamente se assumirmos, digamos, que $h$é limitado ao infinito. Se tivermos sorte, esta função$h$ pode se estender ao complemento de $K$, mas não tenho conhecimento de quaisquer condições razoáveis ​​para que tal extensão exista, mesmo na configuração mais simples possível, quando $K$ foram um ponto e $T$ uma esfera (isso é essencialmente o que eu estava tentando descrever na primeira parte deste comentário, após uma transformação de Kelvin).

Então, parece que eu entendi algo completamente errado ...