Generalização da função The Liouville Lambda

Question

Deixei $n=p^{\alpha_1}_1 \cdots p^{\alpha_m}_m,$ e definir $$\lambda_k(n)= (-1)^{ [\frac{\Omega(n)}{k} ]},$$ Onde $\Omega(n)= \alpha_1 + \cdots + \alpha_k,$ e $[\cdot]$ é a função de chão.

Para $k=1$, $\lambda_1$é a função Liouvilles Lambda. Para$k=2$:

$\lambda_2(1)=1, \hspace{2 mm} \lambda_2(p_1)=1, \hspace{2 mm} \lambda_2(p_1p_2)=-1, \hspace{2 mm} \lambda_2(p_1p_2p_3)=-1 \hspace{2 mm} \text{ and so on...}.$

-Há algum conhecimento sobre esta função?

-Se por $\Re(s)>1$ nós definimos $$L(s, \lambda_2):= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\lambda_2(n)}{n^s},$$

Existe alguma conexão entre $L_{\lambda_2}(s)$ e os zeros da função zeta de Riemann?

-Acho (sem saber como provar) que $$\sum_{n<x} \lambda_2(n) = o(x),$$ semelhante a $\lambda_1$ devemos esperar o cancelamento da raiz quadrada na soma de $\lambda_2$ também?

Answer 1

Vamos apenas considerar o caso $k=2$; você pode tentar generalizar este argumento para maiores$k$. Para$k=2$, $$ \sum_{n\le x} \lambda_2(n) = \sum_{\substack{ n\le x \\ \Omega(n) = 0,1 \mod 4}} 1 - \sum_{\substack{ n\le x \\ \Omega(n) = 2,3 \mod 4}} 1. $$ Isso pode ser expresso como $$ \text{Re} \sum_{n\le x} i^{\Omega(n)} + \text{Im} \sum_{n\le x}i^{\Omega(n)}, $$e agora pode-se usar Selberg - Delange. Isso mostrará uma expansão assintótica para$\sum_{n\le x} i^{\Omega(n)}$, e o termo principal no assintótico é $$ C x (\log x)^{i-1}, $$ para uma constante adequada $C$. Assim, você pode encontrar uma forma assintótica para sua soma, que será$$ A \cos(\log \log x) \frac{x}{\log x} + B \sin(\log \log x) \frac{x}{\log x}, $$ para constantes adequadas $A$ e $B$. Esquisito! Mas então você também está olhando para um objeto estranho!