Generalização universal ( $\forall$ - EU)

Question

Com esta regra de dedução, na premissa da regra: o termo a ser substituído por uma variável deve ser arbitrário (referir-se a um d arbitrário$\in$ D).

O que constitui arbitrário e não arbitrário?

1. $ P(a) \quad\quad Premise$
2. $ \forall x P(x) \quad (1), \forall-I: a/x$

O termo john não seria considerado arbitrário e, portanto, a linha 2 estaria incorreta?

1. $ P(john) \quad Premise$
2. $ \forall x P(x) \quad (1), \forall-I: john/x$

Answer 1

Em primeiro lugar, espero que você entenda a intuição por trás disso:

Só porque algum objeto específico tem alguma propriedade, obviamente, não significa que todos os objetos do domínio tenham essa propriedade.

No entanto, se um objeto arbitrário do domínio tiver alguma propriedade, todos os objetos terão.

E só para ficar claro: por objeto "arbitrário" queremos dizer: não sabemos e não assumimos nada sobre esse objeto, exceto que é algum objeto do domínio.

Agora, como exatamente isso está sendo formalizado em um sistema formal específico depende de muitos detalhes formais. Em alguns sistemas, as variáveis ​​são usadas para denotar objetos arbitrários, mas em outros sistemas, 'constantes temporárias' estão sendo usadas, normalmente em combinação com certos tipos de subprova.

Então, se você me perguntar se você pode aplicar $\forall \ I$ inferir $\forall x \ P(x)$ a partir de $P(John)$, Eu realmente não posso responder a isso; tudo depende das especificações do sistema que você está usando.

Answer 2

o $(\forall \text I)$regra é:

E se $\Gamma \vdash \varphi[x/a]$, então $\Gamma \vdash \forall x \varphi$, desde que o parâmetro $a$a é "fresco" no sentido de não ter outras ocorrências em $\Gamma , \varphi$

A ressalva é consistente com o significado intuitivo da regra: se $\varphi$ segura de um objeto $a$ seja o que for, então vale para cada objeto.

A ressalva é necessária para evitar a falácia: João é Filósofo, portanto tudo é Filósofo.

Em sua prova errada acima, você cometeu exatamente esta falácia: o parâmetro $a$ [no seu caso: John] não deve ocorrer em $\Gamma$. No seu caso$\Gamma = \{ P(\text {John}) \}$.

Concluindo, a questão é: como você pode provar $\vdash P(\text {John})$?

Exemplo: considere a linguagem de primeira ordem da aritmética com constantes individuais $0$ e $1$ e deixar $\mathsf {PA}$a coleção do axioma de Peano de primeira ordem .

Nós temos: $\mathsf {PA} \vdash (0 \ne 1)$,

Agora, aplicando $(\forall \text I)$ para isso, usando $0$ Como $\text {John}$, concluímos com: $\mathsf {PA} \vdash \forall x (x \ne 1)$.

Onde está o erro ?