Ideal certo em monóides

Question

Deixar$P$ser um monóide de cancelamento à esquerda,$q \in P$, e definir$qP := \{qp \mid p \in P\}$. eu suponho que$qP = P$implica$q$é inversível em$P$(a recíproca é trivial). Observe que$1 \in P = qP$, então existe$p \in P$de tal modo que$1 = qp$, então$q$tem inversa à direita. No entanto, não vejo como provar que tem uma inversa à esquerda.

Answer 1

Você tem$qp=1$. Multiplique por$q$à direita para obter$qpq=q$. Agora use o cancelamento esquerdo para obter$pq=1$.