Integração de Rieman, mapeamento descontínuo

Question

Provar $f\in\mathcal{R}$, quando $f:[0,2]\to \Bbb{R}$, de tal modo que $f(x)=x$ quando $x \neq 1$e $f(x)=-1$, quando $x=1$. assim$f$ tem uma descontinuidade em $1$.

Deixei $P$ ser uma partição de $[0,2]$, de tal modo que $P=\{0<\frac{1}{n}<\frac{2}{n}<\cdots\frac{n-2}{n}<1+\frac{1}{n}<1+\frac{2}{n}<\cdots2\}$.

Com esta partição, consideramos apenas os subintervalos, que se encontram à esquerda ou à direita de $1$. Isso ocorre porque o subintervalo$\Delta x_i$, que contém o ponto de descontinuidade, não tem um supremo $M_i$correspondendo a ele. Em vez,$M_i$ é arbitrariamente perto de $1$ e isso é uma grande dor de cabeça em termos de prova.

Aqui está a prova real. Deixei$P$seja como acima. Então$$U(P,f)-L(P,f)=\sum_{i=1}^n\Delta x_iM_i-\sum_{i=1}^n\Delta x_im_i=\frac{1}{n}\Biggr(\sum_{i=1}^nM_i-m_i\Biggr)$$

e neste caso $\sum_{i=1}^nM_i-m_i=2-(-1)=3$. Isso está correto?

Answer 1

Você escolheu uma partição $P$ com pontos

$$\underbrace{0,\,\frac{1}{n},\,\frac{2}{n},\,\cdots,\frac{n-2}{n}}_{x_0,x_1,\ldots, x_{n-2}},\,\underbrace{1+\frac{1}{n},\,1+\frac{2}{n},\,\cdots,\,2}_{x_{n-1}, x_{n-2},\ldots,x_{2n-1}}$$

Nesse caso,

$$U(P,f) - L(P,f) = \sum_{j=1}^{2n-1}(M_j - m_j) (x_j - x_{j-1}) \\ =\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n-2}\left(\frac{j}{n} - \frac{j-1}{n}\right) + \frac{3}{n}\left(1 + \frac{1}{n} -(-1) \right)+ \frac{1}{n}\sum_{j=2}^{n}\left(1+\frac{j}{n} - \left(1+\frac{j-1}{n}\right)\right)\\ = \frac{n-2}{n^2} + 3\frac{2+ 1/n}{n} + \frac{n-1}{n^2} = \frac{8}{n}, $$

que tende a $0$ Como $n$ tende a $\infty$.

Portanto, para qualquer $\epsilon > 0$ podemos encontrar uma partição de modo que a diferença entre as somas superior e inferior seja menor que $\epsilon$, provando que $f$ é integrável pelo critério de Riemann.