Isso é uma transformação linear?

Question

Me deparei com a questão se f(x) = x + y($x$ e $y$ são vetores) é uma transformação linear.

Eu responderia que esta não é uma transformação linear porque se y fosse qualquer outra coisa além do vetor zero, então para $x =$ vetor zero, o vetor resultante não seria o vetor zero e, portanto, a origem não permaneceria no lugar.

Mas se $y$ seria o vetor zero, isso contaria como uma transformação linear?

obrigado

Answer 1

Nós temos $f(x+x') = (x+x')+y = x+x'+y$, mas $f(x)+f(x') = (x+y)+(x'+y) = x+x' +2y$.

Então a menos $y=0$, $f(x+x') \ne f(x)+f(x')$ e, portanto $f$ não é uma transformação linear.

Answer 2

A função $f$você definiu é chamado de tradução de passo $y$, Onde $y$é um vetor. Alguns livros escrevem traduções como$t_y(x) = x+y$, onde ambos $x$ e $y$ são vetores.

Sim, você está certo: a menos $y$ é o vetor zero, $f$não é uma transformação linear. Direi mais: já que se trata de uma tradução, você também pode provar que a única tradução que também é uma transformação linear é a translação pelo vetor zero, que nada mais é do que a identidade.$$t_y \; \text{is a linear transformation} \iff y=\vec{0}$$