Limite inferior para a expressão da transformada de Fourier

Question

Deixei $f,g \in L_2(\mathbb{R}) $, e deixar $\hat{f}$ e $\hat{g}$denotam suas transformadas de Fourier. Estou tentando encontrar um limite inferior para esta soma:

$$ \left(\int_{-\infty}^{\infty} x^2 \, f^2(x) \, dx \int_{-\infty}^{\infty} k^2 \, \widehat{g}^2(k) \, dk \right)+ \left(\int_{-\infty}^{\infty} k^2 \, \hat{f}^2(k) \, dk \int_{-\infty}^{\infty} x^2 \, g^2(x) \, dx \right).$$

(Ocorre um problema no PDE em que estou trabalhando). Escrevi a mesma coisa abaixo usando o$L_2$ norma:

$$ \left(|| xf || \cdot ||k \hat{g}||\right) + \left(||k\hat{f}|| \cdot || xg|| \right) $$

Minha suposição inicial era usar o Princípio da Incerteza, mas isso apenas fornece um limite inferior para o produto de$|| xf ||$ e $|| k \hat{f} ||$, o que não parece ajudar aqui. Existe alguma identidade sobre a transformada de Fourier que possa ajudar aqui? Talvez, identidades sobre$\int x^2 f^2 + \int k^2 \hat{f}^2$? Qualquer ajuda / sugestão seria muito apreciada. Obrigado!

Answer 1

Para qualquer $h\in L^2(\mathbb R)$, deixei $D(h)=\int_{\mathbb R} u^2|h(u)|^2du$.

Você está procurando um limite inferior para $D(f)D(\hat g)+D(\hat f )D(g)$. É importante notar que, sem qualquer restrição$f$ e $g$, o limite inferior é $0$ já que você pode conectar $f=0$ ou $g=0$. Na verdade, toda a expressão escala linearmente com$\|f\|$ ou com $\|g\|$. Então, vamos supor que normalizamos$f$ e $g$ de modo a $\|f\|=\|g\|=1$.

Pelo Princípio da Incerteza, existe uma constante universal $C>0$ tal que para todos $h\in L^2(\mathbb R)$ com $\|h\|=1$, $$D(h)D(\hat h)\geq C$$

O valor exato de $C$ depende da convenção de normalização tomada para a transformada de Fourier (pode ser $\frac 1 {16\pi^2}$ ou $\frac 1 {4\pi}$) A igualdade é alcançada para funções gaussianas.

Com isso, $$D(f)D(\hat g)+D(\hat f )D(g)\geq C\left(\frac{D(f)}{D(g)}+\frac{D(g)}{D(f)}\right)$$

O lado direito é mínimo se $D(f)=D(g)$. Nesse caso, a expressão a minimizar é igual a$2D(f)D(\hat f)$, que, pelo Princípio da Incerteza, é limitado por $2C$, com igualdade alcançada por funções gaussianas.

Concluímos que o limite inferior é 2C, com igualdade alcançada quando $f$ e $g$ são ambas funções gaussianas.