Limite usando somas de Riemann [duplicado]

Jan 08 2021

Estou tendo problemas para resolver o seguinte limite:

$$\lim_{n \to +\infty} \frac{\sqrt[n] e + \sqrt[n] {e^2} + ... + \sqrt[n] {e^n}}{n}$$

Esta questão está na seção "Soma de Riemann", então acho que devemos transformar isso em uma integral, então:

$$\lim_{n \to +\infty} \frac{\sqrt[n] e + \sqrt[n] {e^2} + ... + \sqrt[n] {e^n}}{n} = \lim_{n \to +\infty} \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{n} \sqrt [n] {e^k} = \int_a^b f(x) dx$$

eu penso isso$n$é o número de partições e$1/n$é o comprimento de cada um, então isso significa que$b - a = 1$ou$b = a+1$, o que significa que só precisamos encontrar um valor para$a$e$b$será isso$+1$. Mas agora não consigo encontrar o valor de$a$nem$f(x)$. Como posso resolver isso?

Respostas

3 JoséCarlosSantos Jan 08 2021 at 01:58

Observe que$\sqrt[n]{e^k}=e^{k/n}$e que portanto$$\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^ne^{k/n}=\int_0^1e^x\,\mathrm dx=e-1.$$