Limites e integral duplo?

Question

Determine a integral dupla $\int \int_{R} ye^y dxdy$, Onde $R$ é $1\leq x-y \leq 2,\ 1 \leq xy \leq 2$

Estou tendo problemas para entender como devo pensar para chegar aos limites.

$x\ne y$ porque $1\leq xy \leq 2$.

$x$ deve ser pelo menos 1 maior que $y$ Porque $\ 1 \leq x-y \leq 2$.

Isso me dá $\begin{matrix} x &y \\ 2 & 1 \\ \end{matrix}$

Posso, portanto, dizer que os limites são $0 \leq y \leq 1, 0\leq x\leq 2y$ ?

Answer 1

Você tem que integrar mais de duas regiões. Os pontos de intersecção são

$(\frac{\sqrt5 + 1} {2}, \frac{\sqrt5 - 1} {2}), (2, 1), (\sqrt3 + 1, \sqrt3 - 1), (\sqrt 2 +1, \sqrt2 - 1)$

$(\frac{-\sqrt5 + 1} {2}, \frac{-\sqrt5 - 1} {2}), (-1, -2), (-\sqrt3 + 1, -\sqrt3 - 1), (-\sqrt 2 +1, -\sqrt2 - 1)$

Answer 2

Nós temos isso $R$ corresponde à faixa entre as linhas

• $y=x-2$
• $y=x-1$

e as hipérboles

• $y=2/x$
• $y=1/x$

Uma maneira de proceder é encontrar os pontos de interseção para essas regiões e, em seguida, integrar adequadamente para cada parte.