logaritmo do número complexo

Question

Geralmente para logaritmos, se eu tiver $2^4=16$ então isso significa $\log_2(16)=4$ (Aqui 2 é a base)

Portanto, o valor do logaritmo basicamente nos diz quantas vezes devemos multiplicar a base do número.

Quando tomamos ln, significa simplesmente que a base é e

Agora começa minha pergunta

Qual é o logaritmo do número complexo?

Eu pensei que já que o logaritmo nos diz quantas vezes devemos multiplicar a base. Se eu fizesse o logaritmo, obteria números reais, porque não importa o número, se os números reais forem multiplicados, a resposta é real.

Mas o livro que tenho diz que é complexo. Tem até uma derivação para isso.

Alguém pode explicar logaritmos de números complexos relativos a reais ou pelo menos compartilhar alguns recursos?

Obrigado

Answer 1

Observe que um número complexo $z$ pode ser escrito como $$z=|z|e^{i\theta}$$

Onde $|x|$ significa o módulo de $x$

Portanto, o logarítimo de $z$ seria

$$z=|z|e^{i\theta}\\ \log z=\log (|z|e^{i\theta})\\ \log z= \log{|z|+\log{e^{i\theta}}}\\ \log{z}=\log{|z|}+i\theta$$

Para o cálculo de $|z|$podemos simplesmente usar o teorema pitagoriano. Para o cálculo de$\theta$ podemos usar o $\arctan \theta$uma vez que conhecemos os lados adjacentes e opostos. Notar que$\theta$ não é apenas uma solução, porque $\tan{(\theta+2\pi n)}= \tan{\theta}$, então temos um ramo de soluções. Apesar disso, normalmente usamos apenas o principal, que é o que pertence ao conjunto$(-\pi,\pi]$