Mapa, injeção ou ambos?
Recebemos a relação $R$ entre $\mathbb{N}$ e $\mathbb{N}$: $$ R\colon \mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}\colon n \mapsto n^3- 3n^2 - n $$ e nos perguntam: é $R$ um mapa, bijeção, injeção ou sobreposição?
Em primeiro lugar, é claro que nem todo número natural $n$ tem um mapeamento correspondente, por exemplo, 1 mapearia para -3, que é $\notin \mathbb{N}$, da mesma forma para 2 (que mapearia para -6) e 3 (mapearia para -2). Em conclusão: nem todos os elementos do conjunto de origem$\mathbb{N}$ tem um elemento de destino associado, e também nem todos os elementos no conjunto de destino $\mathbb{N}$ tem um elemento de origem associado.
Isso exclui a bijeção e a sobreposição. Deve ser uma injeção, já que cada elemento de destino possui um elemento de origem exclusivo. Meu colega acha que$R$é um mapa e uma injeção, uma vez que "todas as injeções são mapas". Porém, eu acredito que$R$não é um mapa, pois nem todos os elementos do conjunto de origem têm um elemento de destino. Várias fontes na internet (e livros) parecem definir mapas e injeções como sendo restritos ao domínio de$R$, caso em que meu colega está correto ao dizer que as injeções são mapas.
Estamos presos. Qual de nós está certo?
EDITAR Estamos seguindo as definições (não padronizadas?) De um curso de Matemática Discreta, que são as seguintes:
- Uma relação entre dois conjuntos é chamada de mapeamento se de cada elemento sair exatamente uma seta.
- Uma relação é chamada de injeção se de cada elemento no máximo uma flecha parte e em cada elemento no máximo uma flecha chega.
Respostas
Uma relação (binária) entre conjuntos $X$ e $Y$ nada mais é do que um subconjunto do produto cartesiano $X × Y$. Em sua pergunta nós temos$R \subset \mathbb N \times \mathbb N$. Na minha opinião, é enganoso escrever no formulário$n \mapsto n^3- 3n^2 - n $, Eu preferiria escrever $$R = \{ (n,m) \in \mathbb N \times \mathbb N \mid m = n^3- 3n^2 - n \} .$$
Eu recomendo dar uma olhada em https://en.wikipedia.org/wiki/Binary_relation.
$R$ não é uma função $\mathbb N \to \mathbb N$. Como você mostrou, para$n = 1, 2,3$ nós não temos $m \in \mathbb N$ de tal modo que $(n,m) \in R$. No entanto, podemos considerá-la como uma função parcial, o que significa que para cada$n \in \mathbb N$ nós temos no máximo um $m \in \mathbb N$ de tal modo que $(n,m) \in R$. A restrição$\mathbb N \setminus \{1, 2, 3\} \to \mathbb N$ é uma função.
$R$é uma relação injetiva. Isso significa que se$(n, m) \in R$ e $(n', m) \in R$, então $n = n'$. Na verdade, considere a função$\phi : \mathbb R \to \mathbb R,\phi(x ) = x^3 -3x^2-x$. Seu derivado$\phi'(x) = 3x^2 - 6x -1$ é positivo para $x > \xi = 1 + \sqrt{4/3}$, portanto $\phi$ está aumentando estritamente $(\xi,\infty)$. Desde a$ 4 > \xi$, temos injetividade.
$R$ não é uma relação sobrejetiva, o que significa que existe $m \in \mathbb N$ tal para todos $n \in \mathbb N$ temos $(n,m) \notin R$. Na verdade, temos$\phi(4)= 12, \phi(5) = 45$. Desde a$\phi$ está aumentando estritamente $(\xi,\infty)$, podemos levar $m = 13$.
Eu diria que é um mapa (não bem definido) de $\mathbb{N}$ para $\mathbb{N}$ (uma vez que recebe entradas de $\mathbb{N}$ e saídas para o espaço alvo $\mathbb{N}$) Não é uma injeção, pois nem está bem definida.
Mas é um mapa bem definido de $\mathbb{N}\setminus\{1,2,3\}$ para $\mathbb{N}$, na verdade é uma injeção
Na definição que você dá no final de sua postagem, temos que toda função injetiva é uma relação injetiva, mas toda relação injetiva não é uma função injetiva (função injetiva aqui significa uma relação que é uma função e uma relação injetiva).
Por exemplo, deixe $A=\{a,b,c\}$, $B=\{b,c\}$ e $R=\{(b,b),(c,c)\}\subset A\times B$ então $R$ não é uma função de $A$ para $B$ como não há nenhuma flecha partindo de $a$ (o requisito de sua definição de mapeamento seria que houvesse uma seta partindo de $a$)
Por outro lado, de cada elemento de $A$ há no máximo uma flecha partindo (A expressão "no máximo" sugere que nenhuma flecha saindo é permitida) e também no máximo uma seta chega a cada elemento $B$ fazer $R$ uma relação injetiva.
Resumo: as injeções (em termos de relações) nem sempre são mapeamentos.