Mapas zero de ordem totalmente positiva e contrativa

Question

Deixei $A$ e $B$ estar $C^*$-álgebras tais que $A$ é unital, e deixe $\phi: A\rightarrow B$ser um mapa zero de ordem cpc. Então$\phi$ é um $*$-homomorfismo se e somente se $\phi(1_A)$ é uma projeção.

Desde a $\phi$ é um mapa zero de ordem cpc, sabemos que $\phi(ab)\phi(1_A)=\phi(a)\phi(b)$ para todos $a,b \in A$. E se$\phi$ é um $*$-homomorfismo, é óbvio que $\phi(1_A)$é uma projeção. Como provar a outra direção?

Answer 1

Da identidade $\phi(ab)\phi(1_A)=\phi(a)\phi(b)$, é suficiente mostrar que $\phi(a)\phi(1_A)=\phi(a)$ para todos $a$. Uma vez que os elementos positivos abrangem$A$, é suficiente mostrar isso para $a\geq 0$.

Primeiro, observe que $\phi(1_A)$ comuta com $\phi(A)$. Usando o$C^*$-identidade, o fato de que $\phi(1_A)$ é uma projeção, e a identidade $\phi(ab)\phi(1_A)=\phi(a)\phi(b)$, nós obtemos \begin{align*} \|\phi(a)\phi(1_A)-\phi(a)\|^2&=\|(\phi(a)\phi(1_A)-\phi(a))(\phi(a)\phi(1_A)-\phi(a))\|\\ &=\|\phi(a)\phi(1_A)\phi(a)\phi(1_A)-\phi(a)\phi(1_A)\phi(a)-\phi(a)^2\phi(1_A)+\phi(a)^2\|\\ &=\|\phi(a)^2-\phi(a)^2\phi(1_A)\|\\ &=\|\phi(a^2)\phi(1_A)-\phi(a^2)\phi(1_A)\|\\ &=0. \end{align*}