Mostre que um processo interrompido é uniformemente integrável

Question

Suponha $(X, \mathscr{F})$é um martingale. Mostra isso$(X_{\tau \wedge n}, \mathscr{F})$ é uniformemente integrável para qualquer tempo de parada finito $\tau$ de tal modo que $\{X_n\}$ é uniformemente integrável.

Minha tentativa: Em um dos meus livros (Resnick- caminho de probabilidade- seção 6.5.1), diz que se uma família de variáveis ​​aleatórias $\{X_n\}$ é dominado por uma família uniformemente integrável $\{Y_n\}$ então o $\{X_n\}$ também são UI

Portanto, para esta pergunta eu simplesmente disse que $|X_{\tau \wedge n}| \le |X_n|$ $\forall n$ e o resultado se mantém.

Porém, esta é a solução para o problema.

Essa é outra maneira de resolver essa questão? Ou houve um erro na minha tentativa.

Obrigado.

Answer 1

Só porque $m:= \tau \wedge n \le n$ não podemos concluir que $X_{m} \le X_{n}$ pointwise ... tome por exemplo o passeio aleatório simples, o tempo de parada $\tau = \inf_{n}\{|X_{n}|=a\}$ e alguns $n > \tau$ de tal modo que $X_{n}=0$