Movimento browniano: lei do logaritmo iterado

Question

Estou fazendo uma pergunta para o dever de casa. Mas fico confuso.

$\{B_t: t \geqslant 0\}$é um movimento browniano padrão. Mostre que existe$t_{1}<t_{2}<\cdots$ com $t_{n} \rightarrow \infty$ de modo que com probabilidade um, $$ \limsup _{n \rightarrow \infty} \frac{B_{t_{n}}}{\sqrt{t_{n} \log \log t_{n}}}=0 $$ Mas existe um teorema:

(Lei do Logaritmo Iterado para o movimento browniano) Suponha $\{B_t: t \geqslant 0\}$é um movimento browniano padrão. Então, quase com certeza,$$ \limsup _{t \rightarrow \infty} \frac{B(t)}{\sqrt{2 t \log \log (t)}}=1 $$é uma contradição? Na verdade eu tentei$t_n=\exp(\exp(n))$ e aplicar o lema borel cantelli, parece ter: para qualquer $\epsilon>0$

$$ \limsup _{n \rightarrow \infty} \frac{B_{t_{n}}}{\sqrt{t_{n} \log \log t_{n}}}< \epsilon $$

Mas $t_n$ sempre vai para o infinito, então o teorema deve nos dar $\sqrt{2}$, muito confuso ...

Answer 1

Não há contradição. Primeiro se o$t_n$ poderia depender do BM, o que podemos encontrar $t_n \to \infty$ Onde $B(t_n)=0$, então vamos supor que a pergunta requer o $t_n$para ser determinista. O LIL garante que quase certamente há uma sequência aleatória$\tau_n \to \infty$ ao longo do qual a proporção $$\frac{B_{\tau_{n}}}{\sqrt{\tau_{n} \log \log \tau_{n}}}$$ tende a $\sqrt{2}$, mas esta sequência é bastante esparsa e cruzará apenas finitamente, muitas vezes com uma sequência determinística de crescimento rápido, como $t_n=\exp(e^n)$. Seu cálculo de Borel-Cantelli está correto, de fato, pode fornecer uma lei do logaritmo triplo iterado ao longo desta sequência: Quase com certeza,$$\limsup_n \frac{B_{t_{n}}}{\sqrt{t_{n} \log \log \log t_{n}}}=\sqrt{2} \,.$$