Nenhum produto direto é enumerável

Question

Lendo "Algebraic Methods in Philosophical Logic", de Dunn e Hardegree, a seguinte afirmação é feita na página 29:

Todo produto direto de álgebras finitas é finito ou incontável; nenhum produto direto é enumerável.

Certamente, uma família de álgebras finitas indexadas por um conjunto de índices denumeráveis ​​produz um produto direto denumerável.

Obrigado por qualquer ajuda ou dicas!

EDITAR: Aqui estão as definições de álgebra e produto direto fornecidas no livro:

Uma álgebra $\mathbf{A}$é definida como uma estrutura operacional. Uma estrutura operacional é, por definição, um conjunto$A$ junto com uma família $\langle O_i \rangle$ de operações em $A$.

Lembre-se de que uma escolha funciona em uma família$\langle A_i \rangle$ de conjuntos é qualquer família $\langle a_i\rangle$ de elementos tais que $a_j\in A_j$ para todos $j$no conjunto de indexação (implícito). O prouct cartesiano da família$\langle A_i\rangle$ de conjuntos, denotado $\times\langle A_i\rangle$, é definido simplesmente como o conjunto de todas as funções de escolha em $\langle A_i \rangle$.

O produto direto das álgebras tem como conjunto portador$\times\langle A_i\rangle$e uma forma de especificar as operações neste produto cartesiano. O detalhe não deve ser relevante, pois dizem que o motivo pelo qual o produto direto não é denumerável é porque o produto cartesiano não é denumerável.

Answer 1

Isso não tem nada a ver com álgebras: qualquer produto de conjuntos finitos é finito ou incontável (usando o axioma da escolha).

Isso decorre, como bof comentou, do fato de que $\{0,1\}^\mathbb N$ é incontável: se você tiver uma família de conjuntos finitos não vazios $(X_i)_{i\in I}$, qualquer então $J=\{i\in I\mid |X_i|\geq 2\}$ é infinito, caso em que o produto tem cardinalidade $= \prod_{j\in J}|X_j| \geq \prod_{j\in J}2 \geq 2^\mathbb N >|\mathbb N|$, ou é finito, caso em que $\prod_{j\in J}|X_j|$ é então finito.