O gênero de uma variedade depende do campo base?

Question

"O gênero (aritmético) de uma variedade depende do campo base?"

Portanto, a questão surge de uma definição da curva elíptica, o livro de Hartshorne apenas diz que a curva elíptica é uma curva do gênero 1. (316p) Na verdade, esta definição é provavelmente para a curva elíptica sobre C. Então eu encontrei a wikipedia diz assim, para campos gerais. (https://en.wikipedia.org/wiki/Elliptic_curve)

Formalmente, uma curva elíptica é uma curva suave, projetiva e algébrica do gênero um

Para esta definição fazer sentido, o gênero (aritmético) deve ser invariante sobre os campos de base, pois chamamos $y^2z=x^3+axz^2+bz^3$como uma 'curva elíptica', não importa qual seja o campo base. Então eu comecei a me perguntar se o gênero é invariante sobre o campo base em geral.

Answer 1

Vou tentar responder a questão do título (então, se o gênero muda sob a extensão da base), mas apenas para curvas.

Resposta 1 : Se a curva é lisa, projetiva e geometricamente irredutível sobre um campo, o gênero não muda sob uma extensão de base.

Para uma referência, você pode ver o Lema 53.8.2. mais o Lema 33.26.2. , o que mostra que tais curvas verificam a hipótese do lema 53.8.2.

Já que foi isso que você perguntou, eu poderia parar por aqui. Mas eu quero explicar por que existem tantos resultados sobre a mudança de gênero sob a extensão de base. E a explicação é:

Resposta 2 : Se a curva é regular e projetiva sobre um campo não perfeito, então o gênero pode mudar sob uma extensão inseparável. Essas curvas que mudam o gênero são chamadas de "não conservadoras".

Observe que sobre um campo de solo não perfeito, é necessário distinguir entre regular (todos os anéis locais são regulares) e suave (condição Jacobiana ou, equivalentemente, a mudança de base para o fechamento algébrico é regular).

Por que nos preocupamos com curvas regulares, mas não suaves? Por causa da famosa equivalência entre "extensão$K/k$ de grau de transcendência 1 "e" curvas projetivas regulares sobre $k$", ou, se quiser, porque as curvas projetivas normais são regulares, mas não necessariamente suaves (veja o projeto de pilhas: 53.2 Curvas e campos de função ).

A curva dada por @amateur nos comentários , então a curva projetiva regular determinada pela equação$y^2=x^3+t$ sobre $\mathbb{F}_3(t)$, é um exemplo: é regular, mas não suave. Possui gênero aritmético 1, mas quando a base mudou para$\mathbb{F}_3(t^{\frac 13})$(e dessingularizado) tem gênero aritmético 0. Assim, usando a definição "uma curva elíptica é uma curva suave, projetiva, algébrica de gênero com um ponto fixo ", tal curva não é uma curva elíptica, embora tenha um bom procurando a equação de Weierstrass.