O que acontece com a fase após o colapso da função de onda?
Suponha que um estado quântico inicial $\psi = a_1\phi_1 + a_2\phi_2 + ... + a_n\phi_n$, Onde $\phi_i$ é a autofunção com autovalor $\lambda_i$de algum operador de medição. Após a medição, encontraremos o sistema em estado$\phi_i$ com probabilidade $|a_i|^2$.
O que acontece com a fase pós-medição? O princípio de que as medições subsequentes imediatas devem sempre retornar o mesmo valor seria satisfeito, independentemente da fase resultante. Podemos encontrar o sistema em qualquer estado$b\phi_i$, desde que $|b|^2=1$. Tenho certeza de que os postulados da mecânica quântica especificam algo sobre isso, mas não consegui encontrar nenhum texto que trate disso. O que deveria$b$ estar?
Respostas
Na mecânica quântica, os estados são representados por raios no espaço de Hilbert, ou mais precisamente, o espaço de estados é o espaço de Hilbert projetivo - por exemplo, para um sistema de dimensão finita, o espaço é$H_n / \sim \ \cong \mathbb{C}P^{n-1}$, para onde $u, v \in H_n$, $u \sim v$ E se $u = \alpha w$ para algum número complexo diferente de zero $\alpha$.
Agora geralmente preferimos trabalhar com o espaço de Hilbert simples ao invés do projetivo, optando por impor o quociente sempre que útil - simplesmente porque temos muito mais ferramentas úteis à nossa disposição enquanto trabalhamos com espaços de Hilbert.
No entanto, você deve sempre lembrar que o espaço real de estados é o espaço de Hilbert projetivo, o que significa que a declaração "Podemos encontrar o sistema em qualquer estado $b\phi_i$ enquanto $|b|^2 = 1$"não tem sentido, porque não existem estados separados $b\phi_i$- nem é que todos esses estados são os "mesmos" - a verdadeira razão é que há apenas um estado$\phi_i$ no espaço projetivo de Hilbert.
O colapso da função de onda é apenas uma ficção que empregamos porque seria um incômodo descrever as medições de forma realista como o emaranhamento do observador com a coisa sendo observada, com decoerência.
A fase na mecânica quântica não é observável. Você só pode determinar a fase de algo em relação a outra coisa. A fase$b_1$do estado depois que você mediu o sistema para estar no estado 1 não tem nenhum significado por si só. Você precisaria compará-lo com alguma outra fase, como a fase$b_2$ do sistema que está emaranhado com uma pessoa que o mediu para estar no estado 2. Se você pudesse fazer isso, seria significativo dizer, por exemplo, que $\operatorname{arg}(b_2/b_1)$tem algum valor. Para fazer isso, você teria que fazer algo como medir a interferência entre a pessoa no estado 1 e a pessoa no estado 2. Mas todo o motivo do colapso ser uma boa aproximação é que a decoerência torna impossível para nós detectarmos esse tipo de interferência , de modo que a pessoa 1 também pode parar de acompanhar a existência da outra possibilidade.
Após a medição, encontraremos o sistema em estado $\phi_i$ com probabilidade $|a_i|^2$.
Quase, o estado final correto é $$a_i\phi_i,$$é apenas o resultado da aplicação do operador de projeção. Se desejarmos, podemos normalizá-lo para$$\frac{a_i}{|a_i|}\phi_i,$$mas só devemos fazê-lo se soubermos que não o compararemos ou sobreporemos a outros estados. Quando o normalizamos, dividimos por um número real , o que não remove a fase. A fase geral não é importante apenas se não planejamos comparar / sobrepor o estado com outros estados.
Uma maneira de ver que o estado final é $a_i\phi_i$, ou se desejarmos seu primo normalizado com a fase intacta, é imaginar primeiro que todos, exceto o $i$os coeficientes $a_j$são 0 e consideram o estado geral de pós-medição do sistema + aparelho. Por continuidade, imediatamente pós-medição, o estado geral é exatamente o mesmo que imediatamente pré-medição (estamos falando de colapsos instantâneos nesta questão). Portanto, devemos atribuir o estado de pós-medição do sistema para ser o que era imediatamente pré-medição,$a_i\phi_i$. Qualquer outra coisa seria uma etapa desnecessária ad hoc bizarra.
Para o caso geral, com outros coeficientes diferentes de zero, o mesmo deve ser verdadeiro por linearidade, porque colapsar o estado significa apenas manter apenas um dos ramos resultantes.