O resultado de $\int{\sin^3x}\,\mathrm{d}x$

Question

$$\int{\sin^3x}\,\mathrm{d}x$$

Acho que essa integração é ambígua, pois poderia obter a resposta com diferentes abordagens. Essas respostas são válidas e verdadeiras? Alguém poderia me dizer por que e como? E também, há alguma prova de que esses dois métodos que utilizo resultam no mesmo valor / resposta?

É assim que trabalho, corrija-me se estiver errado

Primeiro método:

\begin{align} \int{\sin^3x}\,\mathrm{d}x & = \int{\sin x \cdot \sin^2x}\,\mathrm{d}x \\ &= \int{\sin x (1 - \cos^2x)}\,\mathrm{d}x \\& = \displaystyle\int{(\sin x - \sin x\cos^2x)}\,\mathrm{d}x \\& = \dfrac{1}{3}\cos^3x - \cos x + C \end{align}

Segundo método:

Primeiro, nós sabemos que $$\sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3x$$

Portanto, $$\sin^3x = \dfrac{3}{4}\sin x - \dfrac{1}{4}\sin 3x$$

\begin{align} \int{\sin^3x}\,\mathrm{d}x & = \int{\left(\frac{3}{4}\sin x - \frac{1}{4}\sin 3x\right)}\,\mathrm{d}x\\ & = \frac{1}{12}\cos 3x - \frac{3}{4}\cos x + C \end{align}

Answer 1

$$\cos 3x =4\cos^3x -3\cos x$$ Então, $$\frac{1}{12}\color{green}{\cos 3x} - \frac{3}{4}\cos x=\frac{1}{12}(\color{green}{4\cos^3x -3\cos x})-\frac{3}{4}\cos x$$ $$=\frac{1}{3}\cos^3x-\cos x$$

Portanto, ambas as respostas são as mesmas.

Answer 2

Sim, eles são válidos e verdadeiros. Na realidade,$$(\forall x\in\Bbb R):\frac13\cos^3(x)-\cos(x)=\frac1{12}\cos(3x)-\frac34\cos(x)$$Desde a$$(\forall x\in\Bbb R):\cos(3x)=4\cos^3(x)-3\cos(x).$$

Answer 3

Desde a $$\cos^3(x)=\frac{3}{4}\cos(x)+\frac{1}{4}\cos(3x)$$

Sua primeira integral torna-se $$\int \sin^3(x)dx=\dfrac{1}{3}\cos^3x - \cos x + C$$ $$=\frac{1}{3}\big[\frac{3}{4}\cos(x)+\frac{1}{4}\cos(3x)\big]-\cos(x)+C$$ $$=\frac{1}{12}\cos(3x)-\frac{3}{4}\cos(x)+C$$

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Observe que as constantes de integração não são necessariamente as mesmas. Por exemplo, usando$u$-substituições para o denominador que temos $$\int \frac{4x}{4x^2+7}dx=\frac{1}{2}\ln(4x^2+7)+C_{1}$$

$$\int \frac{x}{x^2+\frac{7}{4}}dx=\frac{1}{2}\ln(x^2+\frac{7}{4})+C_{2}$$

Aqui temos $C_{2}=C_{1}+\frac{1}{2}\ln(4)$uma vez que são constantes. Na verdade nós temos$$\frac{1}{2}\ln(x^2+\frac{7}{4})+C_{2}=\frac{1}{2}\ln(x^2+\frac{7}{4})+\frac{1}{2}\ln(4)+C_{1}$$ $$=\frac{1}{2}\big[\ln(x^2+\frac{7}{4})+\ln(4)\big]+C_{1}$$ $$=\frac{1}{2}\ln(4(x^2+\frac{7}{4}))+C_{1}$$ $$=\frac{1}{2}\ln(4x^2+7)+C_{1}.$$