O zero imaginário, o zero complexo e o zero real são números distintos?

Question

O elemento de identidade aditivo é único. Isso implica que todos os zeros não são distintos? Estou lutando para explicar como um elemento aditivo único não exclui mais do que um número zero. Estou pensando que isso apenas exclui o uso de mais de um zero de cada vez em uma aritmética que inclui adição.

Answer 1

"$0$"é apenas um nome dado a um elemento particular de alguns conjuntos (neste caso, um grupo abeliano).

Em dois conjuntos separados, cada um pode ter um membro desempenhando o papel de $0$e, como os conjuntos são disjuntos, os dois zeros devem ser distintos.

Para um subgrupo de um grupo, entretanto, suas identidades devem ser o mesmo elemento. Nesse caso, há definitivamente apenas um elemento desempenhando o papel de identidade em ambos os conjuntos.

Na maioria das vezes pensamos nos inteiros, racionais, reais e números complexos como sendo uma cadeia em que cada um é um subgrupo (um sub-grupo) do próximo, e nessa imagem todos compartilham a mesma identidade aditiva (e identidade multiplicativa , por falar nisso.)

Mas, em princípio, pode-se especificar dois conjuntos disjuntos, ambos isomórficos para $\mathbb Z$, e seria o caso de haver "dois zeros", um em cada cópia.

Eu poderia estar tendo a impressão errada, mas a questão colocada parece implicar que existe algum tipo de "zero absoluto" que deve ser compartilhado entre todos os grupos abelianos escritos aditivamente, o que não é o caso. "$0$"é apenas uma notação especial para um elemento particular em um conjunto. Não é uma constante universal. Peço desculpas se a impressão que estou tendo é incorreta.

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@rschwieb "zero imaginário" vs "zero complexo" é 0i e 0 + 0i. Os imaginários são números por direito próprio

Isso representa um equívoco sobre a notação, eu acho. Escrita "$0+0i$"é um pouco ambíguo. Ao representar números complexos como pares de números reais, cada número complexo é representado exclusivamente como $(a,b)$ para dois números reais $a,b\in\mathbb R$.

Agora, pode-se modificar a notação introduzindo as seguintes convenções: $$i=(0_\mathbb R,1_\mathbb R)$$

$$1_\mathbb C=(1_\mathbb R,0_\mathbb R)$$

$$0_\mathbb C=(0_\mathbb R,0_\mathbb R)$$

, e então pode-se escrever isso corretamente $a1_\mathbb C+bi=a(1_\mathbb R,0_\mathbb R)+b(0_\mathbb R,1_\mathbb R)=(a,b)$.

Como você pode ver, $0_\mathbb R1_\mathbb R+0_\mathbb R i=(0_\mathbb R,0_\mathbb R)=0_\mathbb R i$ são o mesmo elemento, então não há por que distingui-los.

Neste esquema, $0_\mathbb R$, visto apenas como um coeficiente de uma combinação linear em $\mathbb C$, não é a mesma coisa que $0_\mathbb C$. Ver$\mathbb R$ como um subconjunto deste modelo de $\mathbb C$, é preciso fazer a identificação adicional $a\mapsto a1_\mathbb C=(a,0)$, que obviamente identifica $1_\mathbb R$ com $1_\mathbb C$.