Onde termina a integração?

Question

sou novo em integrais. estou resolvendo$$ \int \frac{1}{2x^2+6}$$mas recebo uma resposta errada:$$ \frac{1}{6}\arctan\frac{x}{\sqrt3}$$A resposta correta deve ser:$$ \frac{\sqrt3}{6}\arctan\frac{x}{\sqrt3}$$Aqui está minha tentativa completa:$$ \int \frac{1}{6(\frac{2x^2}{6}+1)} = \int \frac{1}{6(1+(\frac{x}{\sqrt3})^2)} = \frac{1}{6}\arctan\frac{x}{\sqrt3}$$Você pode me corrigir e me dar alguma fonte para aprender?

Desde já, obrigado!

Answer 1

Você está correto até (e incluindo) a etapa:

$${=\int \frac{1}{6\left(1 + \left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)^2\right)}dx}$$

Você está aplicando incorretamente o fato de que

$${\int \frac{1}{1+x^2}dx=\arctan(x)+c}$$

Observe que deve ser${1+x^2}$- não ${1+ax^2}$. Em vez disso, você deve fazer a substituição${u=\frac{x}{\sqrt{3}}}$para obter

$${=\frac{\sqrt{3}}{6}\int\frac{1}{1+u^2}du=\frac{\sqrt{3}}{6}\arctan(u)+c=\frac{\sqrt{3}}{6}\arctan\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)+c}$$

Como requerido.

Answer 2

Dado,$$\int \frac{1}{2x^2+6}$$

Nós sabemos isso,$$\int{\frac{1}{a^2+u^2}}dx = \frac{1}{a}\tan^{-1}(\frac{u}{a})+c$$

Então,

$$\int \frac{1}{6(\frac{2x^2}{6}+1)}dx $$ $$= \int \frac{1}{6(1+(\frac{x}{\sqrt3})^2)}dx$$Aqui,$a=1$e$u=\frac{x}{\sqrt3}$e$du=\frac{dx}{\sqrt3}$,

isto é,$dx={\sqrt3}du$

Portanto, nossa resposta desejada é,

$$\bbox[5px,border:2px solid red]{\frac{\sqrt3}{6}\arctan\frac{x}{\sqrt3}}$$

Answer 3

$$\int \frac{1}{2x^2+6}dx = \frac{1}{2}\int \frac{1}{x^2+3}dx$$

$$x = \sqrt{3}\tan{\theta}\Rightarrow dx = \sqrt{3}\sec^2{\theta}d\theta$$

Conectando nossa substituição de volta aos rendimentos integrais

$$\frac{\sqrt{3}}{2}\int \frac{\sec^2{\theta}}{3\tan^2{\theta}+3}d\theta = \frac{\sqrt{3}}{6}\int \frac{\sec^2{\theta}}{\sec^2{\theta}}d\theta$$

Então agora ficamos com

$$\frac{\sqrt3}{6}\theta +c$$

Como essa é uma integral indefinida, temos que escrever nossa resposta em termos de x. Olhando para trás em nossa substituição e reorganizando para theta, chegamos à nossa resposta final:

$$\frac{\sqrt3}{6}\tan^{-1}(\frac{x}{\sqrt{3}})+c$$

Answer 4

Seu problema está na igualdade final. Se$F(x)$é um primitivo de$f(x)$, e se$c\ne0$, então uma primitiva de$f(cx)$vai ser$\frac1cF(cx)$. Então, desde$\arctan(x)$é um primitivo de$\frac1{1+x^2}$, um primitivo de$\frac1{1+(x/\sqrt3)^2}$vai ser$\sqrt3\arctan\left(\frac x{\sqrt3}\right)$.

Answer 5

Substituto$x=\sqrt3\,u$ $$ \begin{align} \int\frac{\mathrm{d}x}{2x^2+6} &=\frac{\sqrt3}6\int\frac{\mathrm{d}u}{u^2+1}\\ &=\frac{\sqrt3}6\arctan(u)+C\\ &=\frac{\sqrt3}6\arctan\left(\frac{x}{\sqrt3}\right)+C\\ \end{align} $$