Pintando um tabuleiro de xadrez

Question

No tabuleiro de xadrez seguinte, cada casa branca encontra pelo menos duas casas vermelhas.

Vamos pintar um novo tabuleiro de xadrez de forma que cada quadrado branco encontre exatamente dois quadrados vermelhos. Cada quadrado deve ser pintado de vermelho ou branco. É claramente possível a partir do seguinte tabuleiro de xadrez.

Mas, muitos quadrados foram pintados de vermelho. Qual é o número mínimo de quadrados que devem ser pintados de vermelho?

Answer 1

eu posso fazer

29

igual a:

O padrão pode ser ainda mais bonito do que a resposta de @hexomino . :-)

EDITAR: infelizmente, não há mais padrão de círculo, mas marca n um melhor: (RE-EDITAR: letra em negrito adicionada por causa dos olhos penetrantes de Jaap; h3 deve ser vermelho)

28:

E outro com a mesma quantidade de vermelhidão (RE-EDIT: minha única solução decente), desta vez com simetria mais chata (e também ótima se confiarmos no comentário de @ 2012rcampion abaixo):

Answer 2

Não tenho certeza se isso é mínimo, mas há uma boa solução simétrica para

$32$ quadrados vermelhos

do seguinte modo

Answer 3

Comentário do OP.

Quando proponho este problema, muitas pessoas costumavam entregar os seguintes padrões com 32 quadrados vermelhos.

É um lindo padrão simétrico. Mas, eles não são uma resposta mínima. Este problema foi proposto para enganar as pessoas que estavam satisfeitas com as soluções simétricas. :-)

As respostas corretas com 28 quadrados vermelhos são as seguintes:

Observe que os quadrantes II e IV são simétricos e os quadrantes I e III em cada padrão são misturados com 2 tipos. Portanto, ignorando a simetria, o número total de soluções de 28 quadrados vermelhos é 8 conforme comentado por RobPratt.

A resposta mínima para $9 \times 9$ placa é um padrão com 35 quadrados vermelhos.

Este padrão é simétrico, então o número total de soluções é apenas 2, como também comentado.