Primeira forma fundamental

Question

Wolfram MathWorld define um parabolóide e seus parâmetros diferenciais como

\begin{align*} P&=\left(\frac{\partial x}{du}\right)^2+\left(\frac{\partial y}{du}\right)^2+\left(\frac{\partial z}{du}\right)^2= \\ &=1+\frac{1}{4u} \\ Q&=\frac{\partial x}{du}\frac{\partial x}{dv}+\frac{\partial y}{du}\frac{\partial y}{dv}+\frac{\partial z}{du}\frac{\partial z}{dv}= \\ &=\frac{1}{2\sqrt{u}}(\cos v - \sin v) \\ R&=\left(\frac{\partial x}{dv}\right)^2+\left(\frac{\partial y}{dv}\right)^2+\left(\frac{\partial z}{dv}\right)^2= \\ &=u \\ \end{align*}

Agora, se esses parâmetros correspondem aos coeficientes$E$,$F$e$G$descrito aqui , não entendo como chegaram à expressão para$Q$.

Answer 1

Apesar de outros comentários/respostas, essas quantidades são a primeira forma fundamental usual. Observe que o link Wiki define$g_{ij} = X_i\cdot X_j$. Estes são os habituais$E,F,G$, e são os produtos escalares das derivadas da parametrização em relação às variáveis ​​independentes. No seu caso, o primeiro parâmetro é$u$e o segundo parâmetro é$v$, e de fato temos\begin{align*} P&=X_u\cdot X_u=E,\\ Q&=X_u\cdot X_v=F, \quad\text{and} \\ R&=X_v\cdot X_v=G. \end{align*}Não sei por que Wolfram está usando letras diferentes.

Se você quiser uma referência adicional, confira meu texto de geometria diferencial .

Answer 2

A primeira forma fundamental é o produto interno do espaço tangente em algum ponto da superfície quando se considera a superfície contida no espaço ambiente$\mathbb{R}^3$. Se você tem um parabolóide$z=b(x^2+y^2)$, então os vetores tangentes da superfície que gera o espaço tangente são

$v=[1,0, 2bx]$

e

$w=[0,1,2by]$

Neste ponto, os coeficientes da primeira forma fundamental podem ser calculados da seguinte forma

$E=\langle v, v \rangle=1+4b^2x^2$

$F=4b^2xy $

$G=1+4b^2y^2$

No seu link sobre parabolóide, acho que o argumento é uma geodésica no parabolóide.