Probabilidade de pegar certas bolas do lixo

Question

Uma caixa tem 5 bolas vermelhas e 4 verdes. Escolha 6 sem substituição. Encontre a probabilidade de que a segunda bola seja verde e a quinta bola seja vermelha.

Estou lutando para ver como encontrar o espaço da amostra e, mesmo assim, estou confuso sobre o que fazer a partir daí. Eu pensei que havia$\binom{9}{6}$resultados, mas as bolas são indistinguíveis. Qualquer conselho / solução seria muito apreciado!

Answer 1

O espaço da amostra é

$$\{R_2 \cap R_5, R_2\cap G_5, G_2\cap R_5, G_2 \cap G_5 \}$$

Suas respectivas probabilidades são

$$\begin{align} \Pr(R_2 \cap R_5) &= \frac 5 9 \frac 4 8\\ \Pr(R_2\cap G_5) &= \frac 5 9 \frac 4 8 \\ \Pr(G_2\cap R_5) &= \frac 4 9 \frac 5 8 \\ \Pr(G_2 \cap G_5) &= \frac 4 9 \frac 3 8 \end{align}$$

Isso soma $1,$ e

$$\Pr(G_2\cap R_5) = \frac 4 9 \frac 5 8 =0.278$$ pode ser verificado numericamente em R:

balls <- c(rep(1,5), rep(0,4))

set.seed(561)
n <- 1e6
m <- matrix(,n,6)
for(i in 1:n) m[i,] <- sample(balls, 6, replace = F)
s <- m[m[,2]==0 & m[,5]==1,,drop=F]
nrow(s)/n
0.277662

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Obrigado por aceitar minha resposta. Eu estava pensando que qualquer combinação das duas bolas (segunda e quinta, primeira e terceira, etc) sendo de cores diferentes terá a mesma probabilidade. Então isso pode ser resolvido com a expectativa da variável do indicador$X_{ij}$ com $ij$ sendo o $i$-th e $j$-as bolas, e $X_{ij}$ a variável aleatória que é $1$ E se $G_i R_j,$ e $0$de outra forma. Sendo esta uma variável indicadora, a expectativa é igual à probabilidade e pode ser calculada como$\Pr(G_1,R_2)=\frac 4 9 \frac 5 8.$

Answer 2

Espaço amostral: \begin{aligned} 0 \ green \ balls&, & 0 \ combinations & \\ 1 \ green \ balls&, & \binom 6 1 \ combinations\\ 2 \ green \ balls&, & \binom 6 2 \ combinations\\ 3 \ green \ balls&, & \binom 6 3 \ combinations \\ 4 \ green \ balls&, & \binom 6 4 \ combinations \\ 5 \ green \ balls&, & \binom 6 5 \ combinations \\ \end{aligned} Espaço total da amostra: $2^6-2=62$casos. Agora precisamos descobrir quantos deles são favoráveis.

Quando temos uma bola verde, temos um caso favorável - ela foi escolhida em segundo lugar. Quando temos duas bolas verdes, uma delas deve estar no segundo slot e a outra pode ir em qualquer um dos 4 slots restantes (não pode ir para o quinto). Então, quatro casos. Quando temos três bolas verdes, uma vai para o segundo slot, as outras duas são distribuídas em quatro slots disponíveis, etc.