Probabilidade - Urna com duas bolas vermelhas e uma preta

Question

Considere uma urna com duas bolas vermelhas e uma preta. Desenhe quatro vezes com substituição.

a) Qual é a probabilidade de que exatamente uma bola preta seja sorteada?

b) Qual é a probabilidade de que pelo menos uma bola preta seja sorteada?

Aqui estão minhas respostas:

a) Uma vez que existem $4$ maneiras possíveis de desenhar exatamente uma bola preta:

b r r r     
r b r r     
r r b r     
r r r b

Onde b significa preto e r significa vermelho. Se estamos desenhando com substituição, temos$3^4 = 81$ resultados possíveis e, portanto, a probabilidade de que exatamente uma bola preta seja desenhada $= \dfrac{4}{81}.$

b) Com a mesma abordagem adotada em (a), teríamos:

$1$ maneira de desenhar $4$ bolas pretas.

$4$ maneiras de desenhar $3$ bolas pretas e $1$ vermelho.

$4$ maneiras de desenhar $2$ bolas pretas e $2$ vermelhos.

$4$ maneiras de desenhar $1$ bola preta e $3$ vermelhos.

Assim, a probabilidade de que pelo menos uma bola preta seja desenhada $ = \dfrac{13}{81}.$

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No entanto, meu livro dá (a) $\dfrac{32}{81}$ e B) $\dfrac{65}{81}$como soluções. O que há de errado com meu raciocínio?

Answer 1

Exatamente uma bola preta: temos 4 maneiras de escolher o experimento único que terá uma bola preta, como você já observou. Em qualquer experimento, temos a chance de$\frac{1}{3}$ de uma bola preta e $\frac{2}{3}$de uma bola vermelha. Portanto, qualquer sequência de resultados como$rrrb$ ou $brrr$ tem probabilidade total de $\frac{1}{3} \times (\frac{2}{3})^3 = \frac{8}{81}$ e como temos quatro sequências mutuamente exclusivas, temos $\frac{32}{81}$ para o primeiro, como diz seu livro.

Para "pelo menos uma bola preta" é mais fácil contar o evento complementar: apenas bolas vermelhas. Isso acontece em uma sequência única com acaso$(\frac{2}{3})^4 = \frac{16}{81}$. Então nosso evento acontece com acaso$$1 - \frac{16}{81} = \frac{65}{81} $$

novamente como seu livro diz.