Problema complicado do casco convexo

Question

Deixar$V$seja um conjunto arbitrário. Dado que$\sup_{x\in V} \langle x,u\rangle \ge 1$para todas as unidades$u\in \mathbb{R}^n,$mostre que a casca convexa de$V$contém oepn bola unitária centrada em 0.

Isso parece fácil no começo, mas passei horas pensando nisso sem sucesso.

Answer 1

Suponha$u$encontra-se na bola de unidade aberta, mas$u \notin V$. O Hahn Banach mostra que existe algum vetor unitário$h$de tal modo que$\langle h, x \rangle \le \langle h, u \rangle $para todos$x \in V$. Por isso$1 \le \langle h, u \rangle \le \|u\| < 1$o que é uma contradição.

Answer 2

(Teorema da Separação do Hiperplano) Seja$A$e$B$ser dois subconjuntos convexos não vazios disjuntos de$\mathbb{R}^n$. Então existe um vetor diferente de zero$v$e um número real$c$de tal modo que :$\langle x, v \rangle \ge c \, \text{ and } \langle y, v \rangle \le c$para todos$x$dentro$A$e$y$dentro$B$; ou seja, o hiperplano$\langle \cdot, v \rangle = c$,$v$o vetor normal, separa$A$e$B$.

Suponha que$u \in B(0,1)$mas$u \notin conv(V)$. Então deixa$A:=\{u\},B:=conv(V)$no teorema. Então existe um vetor diferente de zero$v$e um número real$c$de tal modo que:

$$\langle u, v \rangle \ge c \implies \|v\|_2> c$$

e$$ \sup_{y \in conv(V)}\langle y, v \rangle \le c \implies \|v\|_2\le \sup_{y \in V}\langle y, v \rangle \le c$$

A primeira implicação é pela desigualdade de Cauchy Schwarz e que o$B(0,1)$está aberto; a última implicação é por nossa suposição. Isso dá a contradição desejada.