problemas com uma identidade de função delta

Question

Eu quero provar $x\delta'(x)=-\delta(x)$. O que fiz foi integrar o lado direito em torno de 0 (já que ambos os lados são iguais quando$x \neq 0$ trivialmente):

$$\int_{-\varepsilon}^{\varepsilon}x\delta'(x)dx=\left[x\delta(x)\right]_{-\varepsilon}^{\varepsilon}-\int_{-\varepsilon}^{\varepsilon}\delta(x)dx=0-\int_{-\varepsilon}^{\varepsilon}\delta(x)dx=-\int_{-\varepsilon}^{\varepsilon}\delta(x)dx$$

Vejo que os lados direito e esquerdo são iguais nessa integração, mas como isso me diz algo sobre seu valor em 0? A integral não poderia ser igual em torno de 0 em "intervalo tão pequeno quanto desejarmos", mas ainda assim as funções originais obtêm valores diferentes em zero?

Answer 1

Responder à sua pergunta requer que respondamos o seguinte: se temos uma função (generalizada) $d(x)$, então como sabemos que $d(x)$é a função delta? Em outras palavras, qual é a definição da função delta?

Uma definição é a correspondente à propriedade de peneiração: $\delta(x)$ é a função única $d(x)$ para qual $\int_{-\infty}^\infty f(x) d(x) = f(0)$ vale para todas as funções $f$. Com esta definição, se quisermos mostrar que$d(x) = -x\delta'(x)$ é a função delta, então é suficiente observar que $$ \begin{align} \int_{-\infty}^\infty f(x)d(x)\,dx &= \int_{-\infty}^\infty f(x)(-x\delta'(x))\,dx \\ & = -\int_{-\infty}^\infty (xf(x))\delta'(x)\,dx \\ & = \int_{-\infty}^\infty (xf(x))'\delta(x)\,dx \\ & = \int_{-\infty}^\infty (xf'(x) + f(x))\delta(x)\,dx = 0\cdot f'(0) + f(0) = f(0). \end{align} $$ Segue que $d(x) = -x \delta'(x)$ é de fato igual à função delta.

Observe que no cálculo acima, eu uso o recurso de definição da "função" $\delta'$: para qualquer função $f(x)$, $\int_{-\infty}^\infty f(x)\delta'(x)dx = -f'(0)$.

Answer 2

Como nos comentários e na resposta de @BenGrossman, seu cálculo captura a essência do problema, embora sua preocupação com valores pontuais esteja caminhando para problemas.

Por falar nisso, embora a manipulação de integrais (como em sua heurística ou na explicação de BenGrossman) conte a história, também é possível escrever um argumento análogo, mas / e absolutamente rigoroso, com menos símbolos: para uma função de teste $f$, pensando descaradamente nas distribuições como funcionais (contínuas, lineares) nas funções de teste: $$ (-x\delta')(f) \;=\; -\delta'(xf) \;=\; \delta((xf)') \;=\; \delta(f + xf') \;=\; f(0) + (xf')(0) \;=\; f(0)+0 \;=\; \delta(f) $$