Produto de grupos “complexo simplificado”?
Deixar $X=(V,E)$ ser um gráfico, e para cada vértice $v \in V$, associe um grupo $G_v$. O produto gráfico dos grupos$G_v$(conforme definido, por exemplo, aqui ) é$F/R$; o quociente do produto livre do$G_v$ pelo subgrupo normal gerado por comutadores $[G_{u_1},G_{u_2}]$, Onde $\{u_1,u_2\} \in E$.
Deixar $K$ ser um complexo simplicial no conjunto de vértices $V$, e deixar $G_v$ser uma coleção de grupos. Também se pode associar um produto gráfico de grupos$G^K$ para $K$ tomando o gráfico que é o $1$- esqueleto de $K$. $G^K$ não é, então, dependente dos simplicos superiores de $K$. Em particular, não depende de faces ausentes de dimensão maior que$1$.
Desejo encontrar uma generalização da construção do produto gráfico de grupos para levar em consideração os simplicos superiores (ou faces ausentes) de $K$, mas que concorda com a construção do produto gráfico dos grupos no caso de $K$ é a bandeira.
Pode-se tentar fazer essa generalização tomando o colimite do diagrama apropriado em $\mathbf{Grp}$. Ou seja, pegue o colimite do diagrama$\mathcal{D}: Cat(K) \rightarrow \mathbf{Grp}$, um functor da categoria de rosto de $K$ para $\mathbf{Grp}$, que se associa a cada simplex $\{v_{i_1},...,v_{i_j} \} = \sigma \in K$ o produto direto $\prod_{j} G_{v_{i_j}}$, e leva inclusões de simplicidades para inclusões de grupos
Isso não funciona, porque ainda depende apenas do $1$- esqueleto de $K$. O problema parece ser uma ausência de "maior comutatividade" em$\mathbf{Grp}$.
Em seu livro Metric Spaces of Non-Positive curvature, Bridson e Haefliger definem complexos de grupos, e o grupo fundamental de tal complexo. Podemos usar$K$para construir um complexo simples de grupos (associando a cada simplex o produto dos grupos de vértices) e então pegar o grupo fundamental. Essa construção parece que pode me levar a algum lugar, mas não parece ser possível usar / adaptar isso na generalização do produto gráfico de grupos - apesar do fato de que o grupo fundamental resultante parece depender dos simplicos superiores de$K$.
Intuitivamente (para mim), o grupo fundamental parece ser um invariante que depende de "loops" em $K$, em vez de rostos ausentes.
Ver grupos como grupos topológicos discretos e tomar o colimite de homotopia parece um caminho potencial a seguir, mas a construção de colimites de homotopia em $\mathbf{TGrp}$ parece muito envolvido.
Existe uma construção que torna possível tal generalização?
Respostas
Eu não sei se isso vai ajudar, mas em https://arxiv.org/pdf/math/0101220.pdf, usamos produtos gráficos de espaços (que eu acho que foram introduzidos por Danny Cohen, mas não tenho certeza). Isso leva a um produto tensorial gráfico de resoluções cruzadas dos grupos. Isso dará uma resolução do produto gráfico. Não tenho certeza da interpretação categórica desse produto gráfico dos espaços.
Um ponto pode ser no seu caso substituir os grupos, não por grupos topológicos (discretos), mas por grupóides (usando cada grupo como um grupóide com um único objeto) ou por seus nervos, que são espaços classificadores dos grupos. Isso corresponde à nossa situação, mas sem a comutatividade mais alta que vem do uso de complexos cruzados. Também permite pensar em outras configurações mais gerais. Lembre-se de que a categoria de grupos pode ser pensada como uma categoria 2, incorporando-a na categoria de grupóides e isso envolve conjugação, por isso pode ser útil para sua pergunta. Existem também os$cat^n$-grupos de modelagem de Loday de homotopia $n$-tipos, onde um sentido de maior comutatividade está certamente em evidência, pois estes também são cruzados $n$-cubos de grupos. (Posso fornecer mais detalhes se você precisar.)
A propósito, a maior comutatividade que você deseja e que você diz que não existe no $\mathbf{Grp}$está lá em grupos simpliciais (oid) s, então expanda seus grupos em dimensões mais altas de modo a codificar mais da comutatividade superior, que vem de múltiplos comutadores. (Isso está relacionado a muitos problemas na reescrita da teoria, mas isso me afastaria muito de sua pergunta!)
Outro cenário que pode lhe dar algumas idéias é o de uma idéia explorada por Abels e Holz (H. Abels e S. Holz. Geração superior por subgrupos. J. Alg, 160: 311– 341, 1993). interpretado como vindo de uma cobertura de um grupo por subgrupos (e sabe-se informação homológica sobre esses subgrupos). Isso está relacionado às idéias de Haefliger, mas não vai na mesma direção. Em todas essas idéias de orbifolds e pilhas estão provavelmente à espreita, mas, novamente, não vou explorá-las aqui (já que não sou um especialista nessas áreas).
Espero que algumas dessas idéias ajudem.
Edit: Acabei de ter outra ideia sobre a conexão entre alguns dos pensamentos acima. Isso é pensar nos subgrupos do comutador dentro$F$ como sendo módulos cruzados, não formando o quociente $F/R$ como tal, mas saindo $[G_u,G_v]$ como se em uma dimensão superior para $F$. O objeto resultante tomará a apresentação que você faz como algo importante, ao invés do grupo que ela apresenta. Deve-se ser capaz de dar um significado para o comutador triplo e, portanto, obter um módulo 2 cruzado ou algo semelhante. (Novamente, se você precisar de referências, posso fornecê-las, mas aqui não seria um bom lugar.)