Projeções de espaços totalmente desconectados

Question

Deixei $X$ e $Y$ser dois espaços métricos. E se$K$ é um subconjunto totalmente desconectado de $X\times Y$ devem as projeções $\pi_{X}(K)$ e $\pi_{Y}(K)$também estar totalmente desconectado? E se X e Y forem considerados compactos?

Answer 1

Não, mesmo quando ambos são compactos.

Considerar $X=Y=[0,1]$ e deixar $C=(\mathbb{R}\backslash\mathbb{Q})\cap X$. Observe que$C$está totalmente desconectado e incontável. Agora deixe$f:C\to[0,1]$ seja qualquer bijeção e considere

$$K=Gr(f)=\{(x,f(x))\ |\ x\in C\}\subseteq X\times Y$$

Não é difícil ver isso $K$ está totalmente desconectado também, mas $\pi_2(K)=[0,1]$.