Propriedade de integração

Question

Deixei $T>0$fixo. Deixei$f,g : [0,T] \subset \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ funções diferenciáveis ​​de modo que, para alguns $c>1$, $$f(x) \geq c, \; \forall \; x \in [0,T] .$$

Eu sei disso $f\cdot g$ também é integrável.

Questão. É verdade que$$\int_{0}^T c \cdot g(x) \; dx \leq \int_{0}^T f(x) \cdot g(x) \; dx?$$

Pensei em aplicar integração por partes para tentar provar, mas não consegui concluir nada.

Answer 1

Isto é falso. $f(x)=c+1$ e $g(x)=-1$ dá um contra-exemplo.

No entanto, se também tivermos $g(x) \geq 0$ então $f(x)g(x)-cg(x) \geq 0$ então $\int_0^{T} [f(x)g(x)-cg(x)] \geq 0$ que dá $\int_0^{T} f(x)g(x) \geq c \int_0^{T} f(x)dx$.