Prova de função Gamma e Beta

Question

A função Beta é definida pelo integral$$B(\alpha,\beta)=\int_0^1x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}\,{\rm d}x~~~~(\operatorname{Re}\alpha,\operatorname{Re}\beta>0)$$ Avaliando $\int_0^\infty\int_0^\infty x^{\alpha-1}e^{-x}y^{\beta-1}e^{-y}\,{\rm d}x\,{\rm d}y$ de duas maneiras diferentes, mostre que $$\Gamma(a)\Gamma(\beta)=\Gamma(\alpha+\beta)B(\alpha,\beta)$$

Eu tenho uma prova da relação entre a função gama e a função beta, mas depois de substituir pela primeira vez e trocar as integrais, por que a função se torna $x^{\alpha+\beta-1}$ depois de pentear $x^{\alpha-1}$ e $x^{\beta-1}$ não deveria ser $x^{\alpha+\beta-2}$?

$$\begin{align*} \Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)&=\int_0^\infty x^{\color{blue}{\alpha-1}}e^{-x}\left(\int_0^\infty y^{\color{blue}{\beta-1}}e^{-y}\,{\rm d}y\right)\,{\rm d}x\\ &=\int_0^\infty x^{\color{blue}{\alpha+\beta-1}}e^{-x}\left(\int_0^\infty t^{\beta-1}e^{-tx}\,{\rm d}y\right)\,{\rm d}x&&(\text{put } y=tx)\\ &=\int_0^\infty t^{\beta-1}\left(\int_0^\infty x^{\alpha+\beta-1}e^{-(t+1)x}\,{\rm d}x\right)\,{\rm d}t\\ &=\int_0^\infty\frac{t^{\beta-1}}{(1+t)^{\alpha+\beta}}\left(\int_0^\infty u^{\alpha+\beta-1}e^{-u}\,{\rm d}u\right)\,{\rm d}t&&\left(\text{put }x=\frac u{1+t}\right)\\ &=\Gamma(\alpha+\beta)\int_0^\infty\frac{t^{\beta-1}}{(1+t)^{\alpha+\beta}}\,{\rm d}t \end{align*}$$

Answer 1

Vamos examinar a linha crucial com mais detalhes. A substituição$y=tx$ dá $$\int_0^\infty y^{\beta-1}e^{-y}\,{\rm d}y\stackrel{y=tx}=\int_0^\infty(tx)^{\beta-1}e^{-tx}\color{red}{x}\,{\rm d}t=x^{\beta}\int_0^\infty t^{\beta-1}e^{-tx}\,{\rm d}t$$ Como você pode ver, nós temos $x^{\beta-1}\cdot x=x^\beta$ de onde o adicional $-1$desaparece. Isso é tudo.

Answer 2

Eu acho que é mais fácil se você fizer isso usando uma história ao invés de integrais complicadas. Imagine duas distribuições Gama$X \sim Gamma(a, \lambda)$ e $Y \sim Gamma(b, \lambda)$.

Usando esses dois, calcule a junta $f_{T,W}(t,w)$ distribuição de:

$T = X + Y$ e $W = \frac{X}{X+Y}$.

Como uma história, imagine dois funcionários trabalhando em um banco, ambos trabalhando na mesma taxa $\lambda$. T é o tempo total de espera para uma pessoa que precisa atender os dois balconistas, enquanto W é a fração que a pessoa espera pelo primeiro balconista.

Fora da distribuição conjunta, ficará claro que este é o produto de duas distribuições independentes, uma que é $Beta$. Isso também é muito mais fácil de lembrar.