Prova que $x x^T$ é simétrico e semidefinido positivo

Question

Para um vetor genérico $x\in\mathbb{R}^n$ é claro o produto externo $xx^T$ é uma matriz simétrica.

Mas como podemos provar que este é um semidefinido positivo também?

O Matrix $X:=xx^T$ é dado pelos elementos $x_{ij} = x_ix_j$.

Uma referência ou resposta seria ótima.

Answer 1

Deixar $Y$ ser um vetor de coluna $\in\Bbb R^n$ então, desde $Y\cdot x$ é um escalar, $$Y^TXY = Y^Txx^TY = (x^TY)^T(x^TY)\implies Y\cdot XY = (x^TY)^2 \geq 0.$$