Provando $A\setminus(A\setminus B)=A\cap B$

Question

Estou tentando provar isso para conjuntos $A$ e $B$ temos $$A\setminus(A\setminus B)=A\cap B$$

Eu procedo da seguinte forma:

E se $x\in A\setminus(A\setminus B),$ então $$\begin{align}x\in A \wedge x\notin(A\setminus B) \tag1& \iff x\in A \wedge (x\notin A \vee x\in B)\\ &\iff (x\in A \wedge x\notin A) \vee(x\in A \wedge x\in B)\tag2\\ & \iff x\in A \wedge x \in B\tag3\\ & \iff x\in A\cap B\tag4\end{align}$$

Assim desde $A\setminus(A\setminus B)\subset A\cap B$ e $A\cap B \subset A\setminus(A\setminus B)$, temos

$$A\setminus(A\setminus B) = A \cap B$$

Minha pergunta é: o que o $(x\in A \wedge x \notin A)$ contribuir na linha $2$? Para que a prova funcione, deve-se assumir que está dizendo$x\in A \wedge x \notin A $ é equivalente a dizer $x\in\emptyset$. Isso está correto?

Answer 1

Declaração $x\in A\wedge x\notin A$ é de fato equivalente à afirmação de que $x\in\varnothing$.

Mas isso puramente com base no fato de que ambas as afirmações são falsas .

É, por exemplo, também equivalente à afirmação de que $1=2$.

Declaração $p\vee q$ é uma afirmação verdadeira se $p$ é uma afirmação verdadeira ou $q$ é uma afirmação verdadeira.

Então, se observarmos nessa situação que $p$ é falso, então concluímos que $q$ é verdade.

Answer 2

Está certo. Como pôde$x$ ambos estão em $A$ e também não estar em $A$? Isso nunca acontece, então, quando "ou" essa condição com qualquer outra coisa, podemos simplesmente omitir a condição impossível (que é como a linha 3 foi obtida).

"Tenho sete anos e tenho nove" ou "Tenho um vaso de planta" equivale a "Tenho um vaso de planta".