Prove que a imagem de um conjunto é fechada e limitada

Question

Deixei $f:A \subseteq \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$ Onde $A$ está fechado e $f$ contínuo em $A$. Provar que$D \subseteq A$ é limitado então $\overline{f(D)}$ é fechado e limitado

Nós sabemos isso $\overline{f(D)}$ sempre está fechado, mas acho que talvez usando o Teorema de Heine-Borel queremos mostrar que $\overline{f(D)}$ é compacto Eu agradeceria qualquer conselho.

Answer 1

Observe que $\overline D\subset\overline A=A$. Além disso, desde$D$ é limitado, $\overline D$também é limitado. Assim,$\overline D$ é um subconjunto compacto de $A$. Portanto,$f\left(\overline D\right)$também é compacto e, portanto, é limitado. Em particular,$f(D)$ é limitado, e então, $\overline{f(D)}$também é limitado. Sim, é um fechamento, é também um conjunto fechado.