Prove que determinada operação é comutativa [duplicado]

Question

Suponha que temos um conjunto $X$ e uma operação binária $\circ : X \times X \to X$, de tal modo que $\forall x,y \in X$ as seguintes igualdades mantêm $$y \circ (y\circ x) = x, (x\circ y)\circ y = x.$$

Como posso provar que esta operação é comutativa?

Answer 1

Objetivo: $x \circ y = y \circ x$.

Deixei $x \circ y = z$. Notar que$(x \circ y) \circ y = z \circ y = x$. Observe também que$z \circ (z \circ y) = z \circ x = y$. Finalmente calculamos$y \circ x = (z \circ x) \circ x = z = x \circ y$.