Pseudoinverso de um estado quântico

Question

A entropia relativa máxima entre dois estados é definida como $D_{\max}(\rho\|\sigma) = \log\lambda$, Onde $\lambda$ é o menor número real que satisfaz $\rho\leq \lambda\sigma$, Onde $A\leq B$ é usado para denotar que $B-A$ é semidefinido positivo.

Uma maneira alternativa de expressar a entropia relativa máxima é

$$D_{\max}(\rho\|\sigma) = \|\sigma^{-1/2}\rho\sigma^{-1/2}\|_{\infty},$$

Onde $\|\cdot\|_\infty$é a norma do operador que essencialmente escolhe o maior autovalor. Vejo que a ideia essencial é

\begin{align} \rho &\leq \lambda\sigma \\ \sigma^{-1/2}\rho\sigma^{-1/2}&\leq \lambda I \end{align}

Escolhendo o menor possível $\lambda$ resulta em igualdade e, portanto, recupera-se $D_{\max}(\rho\|\sigma)$ Por aqui.

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Eu presumi que $\sigma^{-1}$ aqui é obtido por

1. Diagonalizante $\sigma$
2. Tomando o recíproco de todos os autovalores diferentes de zero e deixando zero autovalores como estão
3. Desgramando $\sigma$ novamente.

No entanto, isso não faz sentido porque para mim, porque quando o apoio de $\rho$ é maior do que o suporte de $\sigma$, $D_{\max}(\rho\|\sigma) = \infty$. No entanto, parece$\|\sigma^{-1/2}\rho\sigma^{1/2}\|_\infty$ nunca pode ser infinito.

Então, como alguém obtém $\sigma^{-1}$?

Answer 1

Há um problema na derivação que você apresentou, uma vez que $\rho \leq \lambda \sigma$ é apenas equivalente a $\sigma^{-1/2} \rho \sigma^{-1/2} \leq \lambda I$ quando $\sigma$ é invertível (ou pelo menos quando $\mathrm{supp}(\rho) \subset \mathrm{supp}(\sigma)$, para que você possa restringir o espaço a $\mathrm{supp}(\sigma)$em vez de todo o espaço de Hilbert). Caso contrário, a propriedade não é verdadeira: considere, por exemplo$|+\rangle\langle+| \leq \lambda |0\rangle\langle 0|$ como um contra-exemplo.

Em suma, apenas quando a condição $\mathrm{supp}(\rho) \subset \mathrm{supp}(\sigma)$ está satisfeito, podemos concluir que $D_{\max}(\rho \| \sigma) = \log \| \sigma^{-1/2} \rho \sigma^{-1/2} \|_\infty$.