Qual é a diferença entre matemática avançada e matemática introdutória?
Se eu leio um livro sobre análise ou teoria dos conjuntos ou álgebra etc., eu começo com um curso introdutório (obviamente), mas se matemática, no final é apenas um monte de teoremas e provas, qual é a diferença entre o que eu estudo e o que alguém que é estudos mais avançados? Mais teoremas? Quão "profundo" você pode entrar em um assunto? Por exemplo, se eu aprender 5 livros introdutórios perfeitamente sobre a teoria dos conjuntos, o quanto estou perdendo do "quadro completo?
Respostas
Em minha experiência, depois dos livros introdutórios [geralmente, pesquisas], você precisa se familiarizar com o material de pelo menos três livros didáticos modernos antes de poder entender os artigos de pesquisa recentes nesse campo.
Por exemplo, embora eu não possa falar pela teoria dos conjuntos, se você quisesse ler um artigo em álgebra, você leria um texto introdutório na teoria do grupo / anel / campo, então você pode pegar um livro na teoria do anel comutativo, então você pode pegar livros de álgebra homológica e geometria algébrica e, dependendo do artigo de pesquisa, agora pode estar acessível para você.
Claro, talvez não, então você precisaria pegar um livro sobre campos numéricos sobre curvas elípticas e outro livro sobre a teoria de Iwasawa, e então você estará em apuros, porque uma vez que a comunidade desistiu de dar um romance de teoria nomes e, em vez disso, apenas nomeia a teoria com o nome de um de seus desenvolvedores, você sabe que é bastante profundo.