Qual é a relação entre Lipschitz e $BMO$ espaços?
Deixei $0 < \alpha < 1$. O espaço$\text{Lip}_{\alpha}(\mathbb{R}^n)$ das funções contínuas de Lipschitz com ordem $\alpha$ é
$$ \text{Lip}_{\alpha}(\mathbb{R}^n)=\{f: |f(x)-f(y)|\le C|x-y|^{\alpha} \quad\text{ for a.e. }\,x, y \in \mathbb{R}^n\}. $$ A menor dessas constantes $C$ é chamado de $\text{Lip}_{\alpha}(\mathbb{R}^n)$ norma de $f$ e é denotado por $\|f\|_{\text{Lip}_{\alpha}(\mathbb{R}^n)}$.
Esta norma tem a seguinte representação integral:
$$ \|f\|_{\text{Lip}_{\alpha}(\mathbb{R}^n)}\thickapprox\sup_{B}\frac{1}{|B|^{1+\alpha/n}}\int_{B}|f(x)-f_{B}|dx, $$ Onde $f_{B}=\frac{1}{|B|}\int_{B}f(y)dy$. É claro que para$\alpha=0$ o lado direito é a definição de $BMO$ norma de $f$.
De acordo com esses fatos, podemos dizer que o espaço de Lipschitz inclui $BMO$espaço? Qual é a relação entre Lipschitz e$BMO$ espaços?
Respostas
Vou definir um monte de espaços que descrevem funções de "regularidade $\alpha$" em algum sentido.
Espaços Hölder: Aqui$\alpha$ estará em $[0,1]$. Definir$Lip_{\alpha}(\Bbb T^n)$ ser o espaço de todas as funções $f:\Bbb T^n \to \Bbb R$ de tal modo que $|f(x)-f(y)| \leq C|x-y|^{\alpha}$ para alguns $C>0$ independente de $x,y \in \Bbb T^n$. A menor dessas constantes$C$ é chamado de seminário de titular, denotado por $[f]_{\alpha}$. A norma espacial de Banach em$Lip_{\alpha}(\Bbb T^n)$ é definido por $\|f\|_{L^{\infty}(\Bbb T^n)}+[f]_{\alpha}.$ Observe que quando $\alpha = 0$ nós apenas pegamos $L^{\infty}(\Bbb T^n)$. Equivalentemente, pode-se descrever$Lip_{\alpha}(\Bbb T^n)$ como o conjunto de funções $f$ de tal modo que $\sup_{x\in Q}|f(x)-f_Q| \leq C|Q|^{\alpha/n},$ para todos os cubos $Q \subset \Bbb T^n$, Onde $f_{Q} := \frac1{|Q|} \int_Q f$e $|Q|$ é a medida de Lebesgue de $Q$. (Provar essa equivalência é difícil.)
Espaços Besov: Aqui$\alpha$pode ser qualquer número real. Qualquer função$f:\Bbb T^n \to \Bbb R$admite uma decomposição canônica chamada decomposição de Littlewood-Paley $f = \sum_{j\ge 0} f_j$. O espaço Besov$B^{\alpha}_{\infty,\infty}(\Bbb T^n)$ consiste nessas funções $f$ de tal modo que $\|f_j\|_{L^{\infty}(\Bbb T^n)} \leq C2^{-\alpha j}$ para alguns $C$ que é independente de $j$. A menor constante$C$para a qual a desigualdade se mantém é chamada de norma de Besov. Isso induz uma estrutura espacial de Banach em$B^{\alpha}_{\infty,\infty}$. O espaço$B^1_{\infty,\infty}$é chamada de classe Zygmund e é descrita de forma equivalente como o conjunto de todas as funções$f$ de tal modo que $$|f(x+h)+f(x-h)-2f(x)| \leq C|h|,$$ e $B^0_{\infty,\infty}$ consiste nas derivadas distribucionais de funções da classe Zygmund.
Espaços BMO: Aqui$\alpha$ estará em $[0,1]$. Vamos definir o espaço$BMO_{\alpha}(\Bbb T^n)$ ser o espaço de todas as funções $f:\Bbb T^n \to \Bbb R$ de tal modo que $\sup_Q \frac{1}{|Q|^{1+\alpha/n}}\int_{Q} |f-f_Q|dx <\infty$, onde o sup é sobre todos os cubos $Q\subset \Bbb T^n$e $f_{Q} := \frac1{|Q|} \int_Q f$e $|Q|$ é a medida de Lebesgue de $f$. A norma$BMO_{\alpha}$ é definido para ser aquele supremo, o que o torna um espaço de Banach.
Espaços de função contínua: Aqui$\alpha=:k$ deve ter valores em $\Bbb N$. Então$C^{k}(\Bbb T^n)$ é definido para ser o conjunto de todas as funções $f:\Bbb T^n \to \Bbb R$ de modo que todas as derivadas parciais de ordem até $k$são contínuos. A norma é definida como a soma das normas uniformes de todas as derivadas parciais até o pedido$k$. Novamente, temos um espaço de Banach.
Portanto, agora a questão é: como todos esses espaços estão relacionados?
Teorema 1: Se$\alpha \in (0,1)$ então $$ Lip_{\alpha}(\Bbb T^n) = B^{\alpha}_{\infty,\infty} (\Bbb T^n)= BMO_{\alpha}(\Bbb T^n).$$ Todas as normas são equivalentes.
Teorema 2: Para$\alpha = 0$ temos as seguintes inclusões: $$C^0(\Bbb T^n) \subsetneq L^{\infty}(\Bbb T^n) \subsetneq BMO_0(\Bbb T^n) \subsetneq B^0_{\infty,\infty}(\Bbb T^n).$$Portanto, nenhuma das normas é equivalente. Para$\alpha=1$ temos a sequência correspondente de inclusões adequadas.
Basicamente, as equivalências no Teorema 1 sempre se resumem a um cálculo em blocos diádicos. Eles falham por$\alpha=0$ devido ao fato de que a série $\sum 2^{-\alpha n}$ diverge para $\alpha=0$.
Desculpe se isso não ficou claro. Tentaremos atualizar com referências.