Qual será o valor de 'b'? [duplicado]

Question

Deixei $f:(0,\infty)\to \Bbb{R}$ ser diferenciável e $\lim\limits_{x\to \infty}f(x)=1$ e $\lim\limits_{x\to \infty}f'(x)=b$. Encontre o valor de$b$.

eu assumo $f(x)=\dfrac{x}{x+1}$. Eu descobri acima é verdade. Mas como provar formalmente? Eu quero provar isso pelo MVT . Como proceder? Conforme dado$f$é diferenciável, então podemos usar a fórmula da derivada. Mas como? Qualquer ajuda será apreciada.

Answer 1

Método alternativo: se $f'(x) → b >0$, então, por definição, há alguns $X>0$ de tal modo que

$$x>X \implies |f'(x) - b| > b \implies f'(x) > b/2.$$

Então para $x > X$,

$$f(x) = f(X) + \int_X^x f'(y)\; dy \geq f(X) + \int_X^x b/2\; dy = f(X) + \frac b2(x-X).$$

Ou seja, $f(x) \geq \frac b2(x-X).$

(Da mesma forma se $b<0$.)

Answer 2

$\lim\limits_{x \to \infty} f(x)=1$ ou $\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{e^xf(x)}{e^x}=1$. Isto é$\dfrac{\infty}{\infty}$ Formato.

Como $f(x)$ é diferenciável em ($0$, $\infty$), usando a regra de L'Hospital ,$\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{e^xf(x)}{e^x}= \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{e^xf(x)+ e^xf'(x)}{e^x}= \lim\limits_{x \to \infty} f(x)+ f'(x)$ que é dado ser igual a $1$.

Portanto $\lim\limits_{x \to \infty}f'(x)=0$.