Quando é $an+b$ um quadrado?

Question

Escolha dois inteiros $a$ e $b$, e construir a progressão aritmética $an+b$. Minha pergunta é: quando isso contém infinitos quadrados? E quais termos nessa sequência são os quadrados (ou seja, para quais$n$)?

Por exemplo:

• $2n+3$ é um quadrado com frequência infinita (definindo $n=2m^2+2m-1$ para $m\in\bf Z$),

• similarmente $5n+1$ é um quadrado quando $n=0,3,7,16,\dots$. Desta vez, a fórmula para a qual$n$ pegar não é tão simples, é $n=\frac{1}{8} \left(10 m^2+2 \left((-1)^m-5\right) m+(-1)^{m+1}+1\right)$.

• $9n+4$ é um quadrado sempre que $n=9m^2+4m$, mas

• $9n+5$ nunca é um quadrado

• $8n+1$ é um quadrado quando $n$ é triangular

Alguém pode me indicar um estudo geral deste problema diofantino, $k^2=an+b$?

Answer 1

Em geral, dizer que existem infinitas $an + b$ ser quadrado é o mesmo que dizer que $b$ é um resíduo quadrático mod $a$. Porque se$b$ é um resíduo quadrático mod $a$, existe $c$ de tal modo que $c^2 \equiv b \pmod{a}$. Observe que todos os números na forma de$c + ka$ têm seus quadrados na forma de $an + b$.

Para determinar se um número $b$ é um resíduo quadrático mod $a$, existem maneiras de calcular isso ( símbolo de Jacobi com a ajuda da reciprocidade quadrática ).