Raízes de uma equação quadrática.

Question

Suponha que eu tenha uma equação

$$a(f(x))^2+bf(x)+c=0.$$Eu sou obrigado a encontrar as raízes da equação.

Quando eu resolver esta equação vou obter um valor de$x$, dizer$p$e esse valor de$x$vai me dar um valor de$f(x)$, dizer$q$(ou seja$f(p)=q$). Então minha dúvida é se$p$será chamado como a raiz da equação ou é$q$essa é a raiz da equação?

Eu sei que minha dúvida é muito boba, mas por favor me perdoe. Eu não sou tão bom em matemática. Muito obrigado por me aguentar e me ajudar.

Answer 1

Vamos definir um polinômio$p(x) = ax^2+bx+c$. Você precisa resolver$$ \tag{1} p(f(x)) = 0. $$

Para fazer isso, como você notou corretamente, você primeiro encontra as raízes de$p(x)$, dizer$p_+$e$p_-$, para que$p(p_+) = 0 = p(p_-)$, e depois resolva$f(x) = p_+$e$f(x) = p_-$, obtendo algumas soluções, digamos$x^*$. Estas soluções finais$x^*$serão soluções de (1) e raízes de$p(f(x))$.

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ATUALIZAR

Não tenho certeza de como uma função pode ser uma raiz de si mesma. Se você diz$p_-$ou$p_+$, então, de fato, eles são as raízes de$p$, assim$p(p_+) = p(p_-) = 0$, mas não são necessariamente as raízes de$p(f(x))$.

Por exemplo, deixe$p(x) = x^2-16x+64 = (x-8)^2$e$f(x) = x^3$. Observe que:

• $p(x)$tem raízes de$p_- = 8$e$p_+ = 16$
• $f(x)$em si só tem a raiz em$0$
• $p(f(x))$tem raiz em$f(x) = 8 \iff x = 2$e$f(x) = 16 \iff x = 2\sqrt[3]{2}$

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ATUALIZAÇÃO 2

Vamos pegar outro caso particular e considerar$p(x) = (x-1)^2$e$f(x) = \tan x$. Então, para resolver$$\tag{2} (\tan x - 1)^2 = 0$$vocês:

• encontre todas as raízes de$p(x) = (x-1)^2$, que são$x = 1$
• resolver$f(x) = 1$, em outras palavras,$\tan x = 1$, assim$x_n = \pi/4 +n\pi$para qualquer inteiro$n$.

Assim, as raízes de (2) são os números$(x_n)_{n=-\infty}^\infty$.

Answer 2

A equação$a(f(x))^2+ b(f(x))+ c= 0$é "quadrático" somente se f(x) for uma função linear. Se u é uma solução para$au^2+ bu+ c= 0$(pode haver dois valores de u) então qualquer solução para f(x)= u é solução para$a(f(x))^2+ b(f(x))+ c= 0$. Quanto isso depende da função, f.

Answer 3

Quando você resolver a equação, você obterá um valor para f(x) primeiro. Essa seria a raiz:$r=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$. Então você resolveria$f(x)=r$para x.

Answer 4

Você não vai obter um valor de$x$quando você resolve a equação; você obterá um valor de$f(x)$, de acordo com a fórmula quadrática:

$$f(x)=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$