Raízes de uma equação trigonométrica

Question

Considerando a seguinte equação trigonométrica com parâmetros $\alpha$ e $\beta$ real e positivo.

$$f(x) = \alpha \left(\sin{3x}+\cos{3x}\right) + \left(\alpha + \beta \right)\left(\sin{x}-\cos{x}\right)$$

Para determinados valores de $\alpha$ e $\beta$, as raízes ($f(x)=0$) podem ser encontrados graficamente ou usando um método numérico de localização de raiz.

Será que essa equação pode ser simplificada de modo que seja possível obter suas raízes analiticamente?

Answer 1

Se você fizer a matemática,

$$ \sin(3x)+ \cos(3x) = (\sin x- \cos x)(-1-2\sin{2x})$$

então

\begin{align} f(x) &= \alpha (\sin{3x}+\cos{3x}) + (\alpha + \beta)(\sin{x}-\cos{x}) \\ &= (\sin x- \cos x)(\beta - 2 \alpha \sin{2x}) \end{align}

então $f(x) = 0$ tem raízes quando $\sin x = \cos x$ e quando $\sin{2x} = \dfrac{\beta}{2 \alpha}$