Simplificar $(1+\sqrt{3}) \cdot \sqrt{2-\sqrt{3}}$

Question

Alguém pode me ajudar a simplificar $(1+\sqrt{3})\times\sqrt{2-\sqrt{3}}$? O resultado final é$\sqrt{2}$, no entanto, honestamente não sei como chegar lá usando minhas habilidades atuais.

Perguntei a um professor / tutor e ele propôs definir a expressão igual a X e trabalhar ao contrário, quadrando ambos os lados para que:

$$X^2 = (1 + \sqrt{3})^2 \cdot (2 - \sqrt{3}) =(4+2\sqrt{3})(2-\sqrt{3}) =8-2\sqrt{3}^2 = 2 \require{cancel}$$ $$\Rightarrow X = \sqrt{2}$$

Minha pergunta principal é:

1. Quais são as etapas para simplificar isso sem definir igual a X?
2. Tentei assistir a um vídeo do youtube, mas não tive sucesso - a diferença de quadrados é aplicável aqui?

Obrigado!

Answer 1

Em geral, $\sqrt{2 - \sqrt3}$ pode ser negado usando a equação $$\sqrt{X\pm Y} = \sqrt{\frac{X + \sqrt{X^2-Y^2}}{2}} \pm \sqrt{\frac{X - \sqrt{X^2-Y^2}}{2}}.$$ (fonte)

Configuração $X = 2$ e $Y = \sqrt3$ dá $X^2-Y^2=1$ e portanto $$\sqrt{2-\sqrt3} = \sqrt{\frac{2+1}{2}} - \sqrt{\frac{2-1}{2}} = \frac{\sqrt3 - 1}{\sqrt 2}.$$ Multiplicando por $\sqrt3 + 1$ transforma o numerador em $3-1 = 2$, e $\frac{2}{\sqrt2} = \sqrt2$.

Isso é mais longo do que trazer $\sqrt3+1$ no radical neste caso particular, mas funciona de forma mais geral.

Answer 2

$$(1+\sqrt3)\sqrt{2-\sqrt3}=\sqrt{(4+2\sqrt3)(2-\sqrt3)}=\sqrt{2(4-3)}=\sqrt2.$$

Answer 3

Você tem $x\sqrt y$. Trazer$x$ dentro da raiz quadrada para obter $\sqrt{x^2y}$

Answer 4

Isso é o que OP significa pelo método de 'configuração igual a X'.

Deixei $x = (1+\sqrt{3}) \cdot \sqrt{2-\sqrt{3}}$, e assim:

$$x^2 = (1 + \sqrt{3})^2 \cdot (2 - \sqrt{3}) =(4+2\sqrt{3})(2-\sqrt{3}) =8-2\sqrt{3}^2 = 2 \require{cancel}$$ $$\Rightarrow x = \cancel{-\sqrt{2}}, \sqrt{2}$$

A razão pela qual riscamos $-\sqrt{2}$ é porque $1 + \sqrt{3} > 1 > 0$, e $\sqrt{2 - \sqrt{3}} > 0$, portanto $x = (1 + \sqrt{3})(\sqrt{2 - \sqrt{3}}) > 0$. Conseqüentemente$x = \sqrt{2}$ é o único valor possível.