Sobre o functor derivado (Tor)

Question

Deixei $A$ seja um anel comutativo com 1, e suponha $$0 \longrightarrow M \longrightarrow N \longrightarrow P \longrightarrow 0$$ ser uma sequência curta e exata de $A$-módulos. Deixei$D$ feijão $A$-módulo.

Eu entendo que se $Tor^{A}_1(D,P)=0$, então a sequência exata correspondente $$0 \longrightarrow D\otimes_AM \longrightarrow D\otimes_AN \longrightarrow D\otimes_AP \longrightarrow 0 $$é exata, já que Tor é um functor derivado à esquerda.

Mas, inversamente, se sabemos que determinada sequência de produto tensorial é exata, podemos sempre dizer que $Tor^{A}_1(D,P)=0$?

A resposta é sim (em Atiyah diz), mas não consigo entender por que isso se aplica. Eu acho que pode acontecer para que$Tor^{A}_1(D,P)\neq0$ mas imagem de $Tor^{A}_1(D,P) \longrightarrow D\otimes_AM$ é zero, de modo que o mapeamento $D\otimes_AM \longrightarrow D\otimes_AN$ é injetivo.

Answer 1

Poderíamos ter $N=P$ e $M=0$. Isso faria$$ 0 \to D\otimes_AM \to D\otimes_AN \to D\otimes_AP \to 0 $$ exato não importa o que $P$ é.

Acho, em vez disso, o que Atiyah quis dizer é que se a sequência tensora for exata para qualquer $M,N$ de tal modo que $$0\to M\to N\to P\to 0$$ é exato, então temos $\operatorname{Tor}_1^A(D,P)=0$.