Soma do espaço vetorial

Question

A questão na qual estou trabalhando é a seguinte:

Suponha $U_1$ e $U_2$ ser subespaços de um espaço vetorial $V$. Mostra isso$U_1+U_2$ é igual à interseção de todos os subespaços de $V$ que inclui $U_1 \cup U_2$.

Minha tentativa:

Deixei $K = \bigcap_{i = 0}V_i$ ser a interseção de todos os subespaços de modo que $U_1$ $\cup$ $U_2$ $\subseteq V_i$ para todos $i$. Deixei$U = U_1+U_2 = \{x + y \in V : x \in U_1, y \in U_2\}$. Devemos mostrar que$U \subseteq K$ e $K \subseteq U$.

Como a interseção de quaisquer subespaços resulta em outro subespaço, sabemos que K é um subespaço. Uma vez que os subespaços são fechados sob adição, temos isso para$x,y$ dentro $K$, $x+y\in K$. De locação$x$ e $y$ ser elementos de $U_1 \cup U_2$, é claro que $U \subseteq K$.

A extensão de um conjunto $S$ é a intersecção de todos os subespaços de um espaço vetorial $V$ que contém $S$. Conseqüentemente$K = \operatorname{span}(U_1 \cup U_2)$. Então, elementos de$K$ pode ser escrito como combinações lineares de $U_1 \cup U_2$. Desde a$U$ também pode ser representado como combinações lineares de $U_1 \cup U_2$ segue que $K \subseteq U$.

Pareceu um pouco fácil demais, então estou pensando que perdi algo importante. Qualquer ajuda aqui seria ótima.

Answer 1

É realmente simples assim! Suponha que você tenha qualquer subespaço$W$ do $V$ de tal modo que $U_1\cup U_2\subseteq W$. Então nós temos, para qualquer$u_1\in U_1, u_2\in U_2$, $u_1+u_2\in W$ Porque $W$é um subespaço. Portanto,$U_1+U_2\subseteq W$. Como$W$ foi arbitrária, sabemos que essa inclusão vale para todos esses subespaços e, portanto, vale para sua inclusão, nos dando $U_1+U_2\subseteq \bigcap_{U_1\cup U_2\subseteq W}W$. Por outro lado,$U_1+U_2$ é em si um subespaço de $V$ contendo $U_1\cup U_2$ que dá a inclusão inversa.