Teorema da decomposição espectral

Question

Estou revisando o teorema da decomposição espectral. E se$Y$ é uma matriz simétrica, então $Y$ pode ser decomposto como $Y=Q\Lambda Q'$, onde as colunas de $Q$ são os vetores próprios de $Y$ e $\Lambda$ é uma matriz diagonal com a diagonal composta pelos autovalores de $Y$.

De alguma parte deste teorema pode-se concluir que $Q$é uma matriz ortogonal? Eu sei que os vetores próprios de$Y$ são ortogonais, então pode-se concluir que a matriz $Q$ é ortogonal?

Answer 1

Você deve pegar os vetores próprios com norma igual a um, você vai descobrir que $QQ^{\top}=\large𝟙$.

Answer 2

Em sua expressão, $Y=Q\Lambda Q'$ e filas de $Q$ são os vetores próprios de $Y$.

Nisso, $Y=Q'\Lambda Q$ e colunas de $Q$ são os vetores próprios de $Y$.

Sabemos que em uma matriz simétrica, os autovetores correspondentes a autovalores distintos são sempre ortogonais. E se$\bf x$ e $\bf y$ são autovetores correspondentes a diferentes autovalores $\lambda$ e $\alpha$ respectivamente, então $$\langle Y{\bf x},{\bf y}\rangle=\langle{\bf x},Y{\bf y}\rangle\implies\langle\lambda{\bf x},{\bf y}\rangle=\langle{\bf x},\alpha{\bf y}\rangle\implies(\lambda-\alpha)\langle{\bf x},{\bf y}\rangle=0\implies\langle{\bf x},{\bf y}\rangle=0$$ Desde a $\lambda-\alpha\neq 0$.

Agora encontre uma base ortonormal para cada autoespaço que faz o conjunto de todos os vetores próprios de $Y$ um conjunto ortonormal em $\mathbb{R}^n$ (já que diferentes espaços próprios são ortogonais entre si).